Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

que implica, via (6.7), que para tempos muito anteriores ao bounce
µ=A 2
√ ηh
(2)
n (kη) (6.8)
Usando-se a fórmula de recorrência para funções de Hankel
obtemos
d
dx h(i) n (x)= 1 2 h(i) n−1 (x)− 1 2 h(i) n+1 (x)
d
dη µ= A 2
2 √ η h(2) n (kη)+ kA √
2 η
2
n−1 (kη)− kA √
2 η
h (2)
2
n+1
(kη). (6.9)
h (2)
A solução acima, como dito, vale paraη→−∞. Há uma solução formal para
a equação de movimento (5.22) dada por [75, 80]
∫
µ η
a = C 1(k)+ C 2 (k) d ¯η 1 ∫ η [ ∫
a 2 (¯η) − 1 ¯η k2 d ¯η
a 2 d ¯η(aµ)]
. (6.10)
(¯η)
Essa solução pode, por iteração, ser escrita como uma série em k 2
µ
[ ∫ η
a = C 1 1−k 2 d ¯η 1
−k 2 ∫ η
d ¯η 1
a 2 (¯η)
∫ ¯η
d ¯ηa 2 (¯η)]
+ C 2
[∫ η
d ¯η 1
a 2 (¯η)
∫ ¯η
d ¯ηa (¯η)∫ 2 ¯η
d ¯η 1
a 2 (¯η)
a 2 (¯η)
]
+ O(k 4 ). (6.11)
Para k suficientemente pequeno, podemos desprezar os termos em ordem k 2 ou
superior, e, para a trajetória (6.1) temos
µ
(
a = C 1(k)+ C 2 (k)a 3(λ−1) T
)
0
T 0 arctan .
T 0
Essa solução vale para todo T, desde que k seja suficientemente pequeno. Para
T→−∞ essa solução pode ser aproximada por
µ
(
a = C 1− C 2 a 3(λ−1) π
0
T 0
2 + T )
0
T
que leva a
e a
µ= ˜C 1
[ 1+3λ
3(1−λ)
a0
1−3λ ] 2 [
1+3λ 1+3λ
η + ˜C 2
T 0
3(1−λ)
a0
1−3λ ]−1+3λ
1+3λ
η
T 0
dµ
dη = 2 ˜C
[
1 1+3λ a 1−3λ ] 2
1+3λ 0
1−3λ (−1+3λ) η 1+3λ +
1+3λ 3(1−λ) T 0 1+3λ ˜C
[ 1+3λ
2
3(1−λ)
com ˜C 1 = C 1 a 0 − C 2a0
3λ−2
2
πT 0 e ˜C 2 =−C 2 a0 3λ−2 T 0 .
102
(6.12)
a0
1−3λ ]−1+3λ
1+3λ −2
η 1+3λ
T 0
(6.13)