Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

e a tranformação propriamente dita será
a=ã+ ã ∫
d 3 xγ 2
(˜ǫ 1 i j˜ǫ i j − 1 )
12V
2 ˜ǫ2
P a = ˜P a − ˜P ∫
a
d 3 xγ 2
(˜ǫ 1 i j˜ǫ i j − 1 )
12V
2 ˜ǫ2
π i j = ˜π i j − ã ˜P
(
a
˜ǫ i j˜ǫ i j − 1 )
6V 2 ˜ǫγ i j
que leva a hamiltoniana a assumir a forma
H=− Nl2 P 2 a
4aV
+ Na3 Vρ 0 + Nl2 P 2 ∫ (
a
aV 2 d 3 xγ 2
1 1
8 φ2 + 1 8 ǫφ− 1 )
8 Ai A i
+ NP ∫ ) ∫ ∫
a
d x γ 2
(φA 1 i |i+ǫ i j | jA i + Nl2 P a
6V
a 2 d 3 xπφ+ 6Nl2
V
a 3
∫
− 3l2 N
− N a
a 3
∫
d 3 x π2
− Na ∫
γ 1 2 4l 2
d 3 xπ i χA i − Na ∫
6l 2
d 3 xγ 1 2 A
i |i A j | j− N a
d 3 xγ 1 2
− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ |i ǫ |i + 1 4 ǫ |iǫ |i )
+ Na 3 ρ 0
∫
+Na 3 λρ 0
∫
d 3 xγ 1 2( 1
2 ǫφ−φχi |i
d 3 x πi j π i j
γ 1 2
(5.5)
∫ ∫
d 3 xπA i N
|i+
2a 5 (λ+1)ρ 0
(
A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + 1 2 ǫi j k
| jǫ i |k +φ |i ǫ i j | j
d 3 xγ 2
1
)+ 1 ∫
2 Na3 λ(λ+1)ρ 0
(
− 1 2 φ2 + 1 )
2 Ai A i −φχ i |i
d 3 x πi χπ χ i
γ 1 2
d 3 xγ 2( 1 1
)
4 ǫ2 +χ i |iχ j | j−ǫχ i |i,
que é exatamente a hamiltoniana obtida de (3.32), somada dos termos de ordem
zero.
Deve ser reforçado o ponto de que em momento algum na discussão acima se
usou nenhuma equação de movimento da ordem zero. O fato de na construção de
(5.4) termos nos inspirado na forma do termo de derivada total (3.33) que surge no
procedimento padrão nada tem a ver com efetivamente usar as equações de fundo.
De fato, poderíamos simplesmente propor o geradorF 1 , sem justificá-lo por nenhum
princípio, e a passagem de (5.3) para (5.6) seria igualmente feita, claramente
sem depender das equações clássicas. Se optamos por apresentar a discussão sobre
a origem deste gerador foi por considerarmos mais elegante e elucidativo que
assim fosse feito.
Deve estar claro então que, independentemente da dinâmica dos graus de liberdade
de ordem zero, a lagrangiana (3.32) é válida pois sempre podemos efetuar
uma transformação de Legendre inversa a partir de (5.6) obtendo-a como lagrangiana.
A lagrangiana (3.32) é tradicionalmente mais simplificada ainda pelo uso da
equação (3.5) , que a leva a (3.34). No nosso caso, um resultado semelhante pode
ser obtido pela redefinição da função lapso
[
N= Ñ 1+ 1 ∫ )]
d 3 xγ 2
(ǫφ+φ 1 2 − A i A i
2V
69
(5.6)