Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

com
H 0 =− l2 P 2 a
4aV + P T
a 3λ P T = a 3(λ+1) ρ 0 .
Dessa hamiltoniana tiramos
Ṫ= N
a 3λ
e pela escolha N= a 3λ teremos
T= t+constante
ou seja, a variável T introduzida pelo procedimento inverso de Routh corresponderá
ao próprio tempo coordenado t.
É trivial verificar que a hamiltoniana (4.4) gera as equações corretas para o
fator de escala.
É adequado comentar aqui que a hamiltoniana acima pode ser obtida partindose
do formalismo de Schutz [72, 73] que é o frequentemente utilizado em trabalhos
anteriores na área de cosmologia quântica [71, 74].
4.3 Quantização - A Função de Onda do Universo
Na seção anterior obtivemos a expressão para a hamiltoniana como sendo
H=NH 0 +λ N P N +λ µ P µ
sendo H 0 , P N e P µ vínculos de primeira classe eλ N ,λ µ e N os respectivos multiplicadores
de Lagrange.
Como estamos lidando com um sistema vinculado devemos, na quantização
pela prescrição de Dirac [39], exigir que a função de onda seja aniquilada pelos
vínculos P N , P µ e H 0 . Dos dois primeiros concluimos que a função de onda não
dependerá de N nem das coordenadas x µ das partículas. A terceira condição leva à
seguinte expressão
a 3λ H 0 χ=0
onde o fator a 3λ foi introduzido por conveniência.
Na quantização a expressão acima apresentará o problema de ordenamento de
operadores no primeiro termo. Escolheremos como ordenamento aquele que gera
uma hamiltoniana covariante por mudanças das variáveis dinâmicas. Esse ordenamento
corresponde a
l 2
4V a 3λ−1
2
∂
(
a 3λ−1
2
∂a
∂ψ
)
=ı ∂ψ
∂a ∂T , (4.6)
que corresponde a uma equação do tipo Schroedinger descrevendo a evolução da
função de ondaψ(a, T) no tempo T. Como já discutido anteriormente, esse tempo
corresponde ao tempo coordenado se impusermos o calibre N= a 3λ . A particularização
desse tempo para a parametrização da evolução dinâmica do sistema foi a
razão pela qual multiplicamos o vínculo H 0 por a 3λ .
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