Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

exatamente a mesma obtida para o caso hidrodinâmico. Assim, todas as conclusões
obtidas para essas perturbações naquele caso permanecem válidas.
No setor vetorial temos
L (V) = Na
6l 2 ∫
d 3 xγ 1 2 S
i| j S [i| j] − a2
6l 2 ∫
∫
d 3 xγ 2 1 S i| j F˙
i| j + a3
12l 2 N
d 3 xγ 1 2
˙
˙
F i| j F i| j
que sofre das mesmas dificuldades já comentadas no caso da matéria hidrodinâmica.
Essas dificuldades podem ser contornadas pela introdução da variável
invariante de calibre V i
V i = S i − a N Ḟi.
Em termos desta variável a lagrangiana do setor vetorial assume a forma
∫
Na
6l 2 d 3 xγ 2 1 V
[i| j] V [i| j]
de onde obtemos que a equação de movimento para V i será
que implica em
1
2 Vi| j | j≈ 0
V i = 0.
Ou seja, em um Universo dominado por um campo escalar, as perturbações vetoriais
são identicamente nulas.
Por fim no setor escalar, após algumas integrais por partes, a lagrangiana assume
a forma
L (E) = Na ∫ ∫ ∫
6l 2 d 3 xγ 2
(2ψ 1 i ψi−4φ i ψ
)− i a3
l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ψ 2 − ȧ2 a
N
l 2 d 3 xγ 2 1 φ
2
N
∫ ∫
− 2a2 ȧ
l 2 d 3 xγ 2 1 φ ˙ψ+ a3 ϕ˙
(
0
d 3 xγ 2
1 ˙φ+3 ˙ψ ) ∫
δϕ− Na 3 V ϕ d 3 xγ 2 1 φδϕ
N
N
+ ϕ˙
0 2 a 3 ∫ (
d 3 xγ 2 1 φ 2 − 2a2 ˙ψ+ ȧ
2N
3l 2 a φ− 3l2 ϕ˙
)(
0
2 δϕ B− a Ė) i
i
N
+ Na3
2
∫
d 3 xγ 1 2( 1
N 2 ˙ δϕ 2 − 1 a 2δϕi δϕ i − 1 2 V ϕϕδϕ 2 ),
que sofre de todas as dificuldades já conhecidas.
As equações de movimento serão
ψ i i− 3ȧa
N ˙ψ+
( Ṅȧa
2 N 3 − äa )
2ȧ2
N2− N 2 φ− ȧ
N Fi i− 3l2 a 2
4 V ϕδϕ− 3l2 a 2 ˙ϕ 0
˙
2N 2 δϕ=0
¨ψ+ N ( a
3)
a 3 ˙˙ψ+ N ( a2ȧ )
N a 3 ˙φ+ ȧ
N a ˙φ+ 3N2 l 2 V
( ϕ
δϕ+ N2 i
φ−ψ)
4 3a 2 i
+ N ( )
3a 3 a 2 F i i ˙− 3l2 ˙ϕ 0
δϕ=0 ˙
2
˙ψ+ ȧ
a φ− 3l2 ˙ϕ 0
2 δϕ=0. (3.42)
50