Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

onde escolhemosσ= x 0 e usamos que as partículas do fluido não perturbado são
comóveis com as coordenadas utilizadas.
Daí obtemos
[˜g µν (x 0 +ξ) ∂(xµ 0 +ξµ ) ∂(x0 ν+ξν )
] 1
2=
[
g µν (x 0 ) ∂xµ 0
∂σ
∂x0
ν ] 1
2
[
1+φ+ Ṅ
∂σ N χ
∂σ ∂σ
+ ˙χ+ Ṅ
N φχ+ ˙φχ+φ i χ i + 1 ¨N
2 N χ 2 +φ ˙χ+ Ṅ
N χ ˙χ− a N A i ˙χ i
− 1 a 2
2 N 2γ i j ˙χ i ˙χ j − 1 ]
2 φ2 . (B.5)
Por outro lado temos
√
−g,α = 1 √
−ggµν,α g µν
2
(B.6)
√
−g,αβ =
√ −g
2
( 1
2 g ρσ,βg µν,α g ρσ g µν + g µν,αβ g µν + g µν,α g µν ,β)
, (B.7)
que permite-nos calcular √ −˜g(x 0 +ξ).
√ √ [
−˜g(x0 +ξ)= g (0) (x 0 ) 1+φ− 1 2 ǫ+ Ṅ
N χ+ 3ȧ a χ− 1 2 φ2 − 1 2 ǫφ+ 1 2 A iA i
− 1 4 ǫ i jǫ i j + 1 8 ǫ2 + Ṅ
N φχ− 1 Ṅ
2 N ǫχ+3ȧ a φχ− 3 ȧ
2 a ǫχ+ ˙φχ+φ i χ i
− 1 2 γi j ǫ i j,k χ k − 1 Ṅȧ ˙ǫχ+3
2 Na χ 2 3ȧ2
+
a 2χ2 + 1 ¨N
2 N χ 2 + 3 ä
]
2 a χ 2 . (B.8)
O jacobiano da transformação do sistema de coordenadas lagrangiano (a i ,λ)
para o sistema euleriano (x µ 0 +ξµ ) será
[
J(x 0 +ξ)= J 0 1+ ∂ξα 1 ( ∂ξ
α
∂x α+ 2
) 2− 1
∂x α 2
]
+ 1 2 χi ,iχ j , j+ ˙χχ i ,i−χ ,i ˙χ i − 1 2 χi , jχ j ,i
∂ξ α ∂ξ β ]
∂x β ∂x α = J 0
[1+ ˙χ+χ i ,i
(B.9)
onde J 0 é o Jacobiano não perturbado.
O produto √ −˜g(x 0 +ξ)J(x 0 +ξ) será
√ [
−˜g(x0 +ξ)J(x 0 +ξ)=
√−g (0) J 0 1+φ− 1 2 ǫ+ Ṅ
N χ+ 3ȧ a χ+ ˙χ+χi ,i− 1 2 φ2
− 1 2 ǫφ+ 1 2 A iA i − 1 4 ǫ i jǫ i j + 1 8 ǫ2 + Ṅ
N φχ− 1 Ṅ
2 N ǫχ+3ȧ a φχ− 3 ȧ
2 a ǫχ+ ˙φχ
+φ i χ i − 1 2 γi j ǫ i j,k χ k − 1 Ṅȧ ˙ǫχ+3
2 Na χ 2 3ȧ2
+
a 2χ2 + 1 2
− 1 2 ǫ ˙χ+ Ṅ
N χ ˙χ+3ȧ a ˙χχ+φχi ,i− 1 2 ǫχi ,i+ Ṅ
+ ˙χχ i ,i−χ ,i ˙χ i − 1 2 χi , jχ j ,i
]
¨N
N χ 2 + 3 ä
2 a χ 2 +φ ˙χ
N χχi ,i+ 3ȧ
a χχi ,i+ 1 2 χi ,iχ j , j
(B.10)
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