Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

5.3 Quantização
Quantizando a teoria, teremos que o estado do sistema será descrito por um
funcional de ondaχ(a, w i j , v,φ,ψ, T). Às quantidades canônicas a, P a , w i j ,π i j , v,
π,φ,π φ ,ψ,π ψ , T e P T associamos os operadores quânticos â, ˆP a , ŵ i j , ˆπ i j , ˆv, ˆπ,
ˆφ, ˆπ φ , ˆψ, ˆπ ψ , ˆT e ˆP T . A álgebra obedecida por estes operadores será obtida dos
parênteses de Dirac (já que temos na teoria clássica vínculos de segunda classe).
Como estes são canônicos, então as relações de comutação entre esses operadores
serão as relações padrão da mecânica quântica, o que nos habilita a escolher para
esses operadores uma “representação de posição” dada por
â=a
ˆT= T
ŵ i j = w i j
ˆv=v
ˆψ=ψ
ˆφ=φ
ˆP a =−ı ∂ ∂a
ˆP T =−ı ∂
∂T
δ
ˆπ i j =−ı
δw i j
ˆπ=−ı δ δv
ˆπ ψ =−ı δ
δψ
ˆπ φ =−ı δ
δφ .
O funcional de ondaχdeve ser anulado pelas versões operatoriais dos vínculos
de primeira classe (os vínculos de segunda classe são encarados como identidades
definidoras dos operadores ˆπ F e ˆF e não nos serão necessários). A atuação dos
vínculos ˆπ φ e ˆπ ψ sobre o funcional de onda leva a
∂χ
∂φ = 0
∂χ
∂ψ = 0
e vemos então que o funcional de onda não depende deψnem deφ. Assim, estamos
vendo a realização no domínio quântico do que já havíamos visto no caso clássico:
a teoria (no setor escalar) é descrita por apenas uma variável, v. Vemos assim que
o papel da transformação canônica (5.13), além de produzir umπinvariante de
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