Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

A equação de movimento clássica das perturbações tensoriais será (N= a)
¨µ i j −µ i j
|k k − ä
a µ i j= 0.
Se decompusermos essas perturbações em modos normais,
∑
µ i j = µ ( ⃗k) f ( ⃗k)
i j
⃗k
onde f ( ⃗k)
i j
representam uma base ortogonal de funções tensoriais, obteremos, omitindo
o índice⃗k por simplicidade notacional
(
¨µ+
k 2 − ä
a
)
µ=0.
A equação acima, embora clássica, pode ser usada para estudarmos a dinâmica
quântica das perturbações tensoriais se encararmosµcomo um operador dependente
do tempo (visão de Heisenberg).
No setor vetorial a lagrangiana é dada por
L (V) = Na
6l 2 ∫
+ 1 2 Na3 (λ+1)ε 0
∫
∫
d 3 xγ 2 1 S
i| j S [i| j] − a2
6l 2 d 3 xγ 2 1 S i| j F˙
i| j + a3
12l 2 N
(
d 3 xγ 2
1 a
)( a
)
N ˙ηi + S i N ˙η i+ S i .
∫
d 3 xγ 1 2
˙
˙
F i| j F i| j
Esta lagrangiana apresenta todas as dificuldades já comentadas. No entanto, se a
re-escrevermos utilizando as seguintes variáveis invariantes de calibre
η i (ic) =η i + F i
V i = S i − a N Ḟi
ela será levada a assumir a seguinte forma
L V = Na ∫
12l 2 d 3 xγ 2 1 V
i| j V i| j
+ 1 ∫ (
2 Na3 (λ+1)ε 0 d 3 xγ 2
1 a
)( a
N ˙ηi (ic) + V i N ˙η(ic) i
+ V i
).
(3.35)
Se agora definirmos a variável invariante de calibre
ϕ i = a √ 3
2 (λ+1)ε0
( a
)
√ √
6 λ N ˙ηi (ic) + V i
a lagrangiana assume finalmente a forma
L V = Na ∫ ∫
12l 2 d 3 xγ 2 1 V
i| j V i| j + 3Nl 2
d 3 xγ 1 2 ϕ i ϕ i .
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