Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

que aplicada em (3.32), somada aos termos de ordem zero, a leva a assumir exatamente
a forma (3.34), adicionada dos mesmos termos.
Note que tal redefinição não possui nenhum significado físico, uma vez que N é
um multiplicador de Lagrange livre da teoria. Assim nós vemos que a lagrangiana
(3.34) é fisicamente indistinguível da lagrangiana (3.32), independentemente da
validade das equações de movimento clássicas da ordem zero.
Se agora decompusermos as perturbações em modos tensoriais, vetoriais e escalares,
da mesma forma feita anteriormente, novamente a lagrangiana (3.34) se
desacoplará em 3 setores independentes nas perturbações, além, naturalmente, dos
termos de ordem zero.
No setor tensorial a lagrangiana será
∫
L (T) = L T = a3
24l 2 N
d 3 xγ 1 2 ẇi jẇ i j − Na
24l 2 ∫
d 3 xγ 1 2 w
i j|k w i j|k (5.7)
exatamente a obtida na abordagem padrão da teoria de perturbações cosmológicas,
reobtida aqui sem a necessidade do uso das equações de ordem zero.
A hamiltoniana associada à lagrangiana (5.7) será [79]
H T = 6l2 N
a 3
∫
d 3 x πi j π i j
γ 1 2
+ Na
24l 2 ∫
d 3 xγ 1 2 w
i j|k w i j|k
ondeπ i j é o momento canonicamente associado a w i j . Voltaremos a analisar essa
hamiltoniana no momento oportuno. No prosseguimento de nossa discussão, não
vamos analisar as perturbações vetoriais pois o tratamento utilizado no capítulo
3 para estas variáveis era totalmente independente das equações de movimento
clássicas. Os resultados obtidos naquele caso permanecem então válidos.
Vejamos agora o que acontece no setor escalar das perturbações. A lagrangiana
aqui, adicionada aos termos de ordem zero 3 será dada, após algumas integrais por
partes, por
L E =−ȧ2 aV
l 2 N − Na3 ρ 0 V+ Na
3l 2 ∫
− a3
Nl 2 ∫
d 3 xγ 1 2
+ Na3 (λ+1)ρ 0
2λ
(
˙ψ+ ȧ
∫
) 2−
a φ Na 3 λ(λ+1)ρ 0
2
d 3 γ 2 1 φ 2 + 1 ∫
2 Na3 (λ+1)ρ 0
∫ (
d 3 xγ 2
(ψ 1 i ψ i − 2φ i ψ i
)− 2a2
3l 2 d 3 xγ 2
1 ȧ )
˙ψ+
a φ ∫
d 3 xγ 2
(3ψ− 1 E i i−ξ i i+ 1 ) 2
λ φ
d 3 xγ 1 2
( a
N ˙ξ i + B i )( a
N ˙ξ i + B i
)
onde F=: B−aĖ/N, como antes. Vamos definir a variável invariante de calibre
3 Como nos termos de ordem 2 aparecem derivadas do fator de escala a, o momentum que lhe
é canonicamente conjugado será modificado pela presença das perturbações escalares, sendo então
obrigatório considerarmos as ordens zero e dois simultaneamente quando estamos falando das perturbações
escalares.
F i i
70