Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Da mesma forma que ocorreu com os graus de liberdade puramente gravitacionais,
também aqui enfrentamos o problema da invariância de calibre. Sob um
arrastamento de Lie parametrizado pelo vetorξ µ um campo escalarϕélevado em
¯ϕ dado por
¯ϕ=ϕ+ϕ ,µ ξ µ
de forma que as perturbaçõesδϕ podem, por esse arrastamento, ser redefinidas
como
δϕ=δϕ+ ¯ ˙ϕ 0 ξ 0 (3.27)
no caso de Universos de FLRW.
De posse das equações (3.27) e (3.17) é trivial verificar que a variávelδϕ (ic)
definida por
δϕ (ic) =δϕ+ ˙ϕ 0
(B− a )
N Ė
é invariante por transformações de calibre.
3.4.2 Matéria Hidrodinâmica
Suponhamos agora que o componente material que gera a geometria seja um
fluido formado por partículas de mesma natureza, cada uma de massa m 0 . A esse
fluido daremos o nome de matéria hidrodinâmica. Esse fluido pode ser macroscopicamente
caracterizado por sua densidade de energia, sua pressão e pela relação
funcional entre essas duas quantidades. Precisamos de uma forma de expressar
essas quantidades em termos do fluxo das partículas que compõem este fluido.
Comecemos então supondo uma folheação do espaço-tempo em tri-superfícies
globais do tipo espaço. Sobre cada superfície atribuímos 3 coordenadas q i a
cada ponto. Essas coordenadas são construídas de forma a serem comóveis com
as partículas do fluido. Cada hipersuperfície é identificada por um parâmetro de
tempoσao longo das linhas de mundo de cada partícula. A esse conjunto de
coordenadas damos o nome de coordenadas lagrangianas. Construamos agora
sobre esse espaço-tempo um novo sistema de coordenadas, no qual as partículas
do fluido não tenham necessariamente que estar em repouso. Denotemos estas
coordenadas por x µ . A densidade de partículas n deste fluido é dada por [34, 61]
n=
√
F(q i )
∂x
g µ
µν ∂σ
∂x ν
∂σ
√ −gJ
(3.28)
onde J é o jacobiano da mudança de coordenadas J = ∂qi ,σ
∂x µ e F é uma função
das coordenadas lagrangianas que determina a distribuição espacial de partículas
nessas coordenadas. Precisamos agora de uma relação entre a densidade de energia
e a densidade de partículas. Para tanto, definamos as quantidadesρeπatravés de
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