Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

˜R µ ναρ= ˜Γ µ νρ,α− ˜Γ µ να,ρ+ ˜Γ ǫ ˜Γ µ νρ ǫα− ˜Γ ǫ ˜Γ µ να ǫρ= R (0)µ ναρ+ 1 h µ ν;ρα+ h µ ρ;να
2
;µ
−h νρ α − h µ ν;αρ− h µ ;µ
α;νρ+ h αν ρ
)− 1 )
2 hµσ ;α
(h σν;ρ + h σρ;ν − h ρν;σ
+ 1 2 hµσ ;ρ
(h σν;α + h σα;ν − h αν;σ
)− 1 (
2 hµσ h σν;ρα + h σρ;να − h νρ;σα − h σν;αρ
)
−h σα;νρ + h αν;σρ + 1 [( )( )
h ǫ ν;ρ+ h ǫ ;ǫ
ρ;ν− h ρν h µ ǫ;α+ h µ ;µ
α;ǫ− h αǫ
4
( )( )]
− h ǫ ν;α+ h ǫ ;ǫ
α;ν− h αν h µ ǫ;ρ+ h µ ;µ
ρ;ǫ− h ρǫ
˜R νρ = ˜R µ νµρ= R (0)
νρ+ 1 ) ( (h µ ν;ρµ+ h µ ;µ
ρ;νµ− h νρ µ − h ;νρ − h µσ ;µ h σν;ρ
2
)
+h σρ;ν − h ρν;σ − 1 (
2 hµσ
+ 1 4 h ;ǫ
(
h ǫ ν;ρ+ h ǫ ρ;ν− h νρ
;ǫ
h σν;ρµ + h σρ;νµ − h νρ;σµ − h σµ;νρ
)+ 1 4 hµσ ;ρh µσ;ν
)
− 1 ( )( )
h ǫ ;ǫ
ν;µ− h µν h µ ;µ
ρ;ǫ− h ǫρ
4
(
˜R= ˜R µν g˜g µν = R (0) + h µν ;µν− h ;µ µ− h σµ ;µh ν σ ;ν+ h σµ ;µh ;σ + 3 4 hσµ;ν h σµ;ν
com
−h µσ h σ
ν ;νµ + h µσ h ;µσ + h µσ h µσ
;ν ν − 1 4 h ;µh ;µ − 1 2 h νµ;ǫh νǫ;µ − h νρ R νρ
−h νρ h µ ν;ρµ+ h ν αh αρ R νρ .
Por fim, a ação será
δ 2 S=− 1
6l 2 ∫
˜S=− 1
6l 2 ∫
d 4 x √ −˜g ˜R=S (0) +δ 1 S+δ 2 S
S (0) =− 1
6l 2 ∫
δ 1 S= 1
6l 2 ∫
d 4 x √ −gR (0)
d 4 x √ −gh µν G (0)
µν
(
d 4 x
√−g (0) −h σµ ν
;µh σ ;ν + h σµ ;µh ;σ + 3 4 hσµ;ν h σµ;ν − h σµ ν
h σ ;νµ
+h µσ h µσ
;ν ν − 1 4 h ;µh ;µ − 1 2 hνµ;ǫ h νǫ;µ − h ν ρ h νµ ;ρµ+ h α ν h αρ R (0)
νρ+ 1 2 hhµν ;µν
− 1 2 hh;µ µ− 1 2 hhµν R (0)
µν+ 1 8 h2 R (0) − 1 4 hµν h µν R (0) + h µσ h ;µσ
).
Através de integrais por partes obtemos
δ 2 S= 1 ∫
6l 2 d 4 x
− 1 2 hνǫ h αµ R (0)
ναǫµ+ 1 2
√
−g (0) [ 1
4 hµν;α h µν;α − 1 2 h µ ν ;νh µρ ;ρ+ 1 2 h ;µh µν ;ν− 1 4 h ;µh ;µ
(hh αβ − h µ α h µβ )
R (0)
αβ + (
114
h µν h µν − 1 2 h2 ) R
(0)
4
]
.