Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

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Note que o uso das equações de movimento do fundo permite que escrevamos √ 3 λ+1 z= 2 λ a que leva a ( ¨v+ λk 2 − ä ) v=0 (3.38) a exatamente a mesma equação obtida no caso tensorial, a menos do fatorλque multiplica k 2 , que pode sempre ser absorvido por uma redefinição de k (estamos nos restringindo aλ>0). A partir das equações (3.36) e (3.7) podemos também obter a seguinte expressão ( 3 Φ i 2 l i=− 2)3 3 a 3 ( v ˙ (3.39) ȧλ a) que nos permite, uma vez conhecido v, conhecer o potencial de BardeenΦ. Por fim, da mesma forma que no caso tensorial e vetorial, as equações (3.39) e (3.38) valem quando as perturbações escalares são quantizadas na visão de Heisenberg. 3.5.2 Universos dominados por um campo escalar Somando as lagrangianas (3.9) e (3.26) obtemos a forma mais geral para a lagrangiana das perturbações em um Universo de FLRW dominado por um campo escalar L= Na ∫ ( 6l 2 d 3 xγ 2 1 A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + a N Ȧiǫ i j | j+ 1 2 ǫi j k | jǫ i |k +φ |i ǫ i j | j− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ |i ǫ |i + 1 ) ∫ ∫ 4 ǫ |iǫ |i + a3 d 3 xγ 2 1 ǫ˙ i j ǫ˙ i j − a3 d 3 xγ 2 1 ˙ǫ 2 + aȧ2 6l 2 N + a2 ȧ 3l 2 N ∫ ∫ d 3 xγ 1 2 + 1 ) 2 ǫ δϕ+a ˙ 2 ˙ + ϕ˙ 0 2 a 3 ∫ d 3 xγ 2 1 4N 24l 2 N (−9φ 2 − 3ǫφ− 3 4 ǫ2 + 3A i A i + 3 ) 2 ǫi j ǫ i j − 2aȧ ∫ 3l 2 ( d 3 xγ 2 1 ǫ i j ǫ˙ i j − 1 ) ∫ 2 ǫ ˙ǫ−φ˙ǫ − a2 6l 2 ∫ ∫ ϕ 0 d 3 xγ 2 1 δϕA i |i − Na3 V ϕ d 3 xγ 2 1 ˙ǫA i |i − a3 ϕ˙ 0 N d 3 xγ 2 (φ− 1 1 ) 2 2 ǫ δϕ (3φ 2 +ǫφ− A i A i − 1 2 ǫi j ǫ i j + 1 ) ∫ 4 ǫ2 + Na3 V 4 +ǫφ− A i A i + 1 2 ǫi j ǫ i j − 1 4 ǫ2 ) + Na3 2 ∫ d 3 xγ 1 2 24l 2 N d 3 xγ 1 2 ∫ d 3 xγ 1 2 d 3 xγ 1 2 ( φA i |i− 1 ) 2 A iǫ i j | j ( φ 2 ( δϕ ˙ 2 δϕ |i N 2 −δϕ|i a 2 − 1 ) 2 V ϕϕδϕ 2 . Esta ação sofre das mesmas dificuldades que a ação (3.31). A forma de contornar estas dificuldades segue, em linhas gerais, os mesmos passos utilizados no caso da ( φ (3.40) 48
matéria hidrodinâmica [34]. Assim, integrando por partes os termos emǫ i j˙ǫ i j e em ǫ ˙ǫ em (3.40) e utilizando as equações (3.22) e (3.23) para expressar as derivadas segundas de a e deϕ 0 vem L= Na ∫ ( 6l 2 d 3 xγ 2 1 A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + a N Ȧiǫ i j | j+ 1 2 ǫi j k | jǫ i |k +φ |i ǫ i j | j− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ |i ǫ |i + 1 ) ∫ 4 ǫ |iǫ |i + a3 24l 2 d 3 xγ 2 1 ǫ˙ i j ǫ˙ i j N ∫ ∫ ) − a3 24l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫ 2 − aȧ2 N 2l 2 d 3 xγ 2 (3φ 1 2 +ǫφ− A i A i N − 2aȧ ∫ ( 3l 2 d 3 xγ 2 1 φA i |i− 1 ) ∫ 2 A iǫ i j | j − a2 ȧ 3l 2 d 3 xγ 1 a 2 ∫ 2 φ˙ǫ− N 6l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫA i |i ∫ + a3 ϕ˙ ( 0 d 3 xγ 2 1 ˙φ+ 1 ) ∫ ∫ N 2 ˙ǫ δϕ+a 2 ϕ˙ 0 d 3 xγ 2 1 δϕA i |i − Na 3 V ϕ d 3 xγ 2 1 φδϕ + ϕ˙ 0 2 a 3 ∫ ∫ d 3 xγ 2 1 (3φ 2 +ǫφ− A i A i )+ Na3 V ) d 3 xγ 2 (φ 1 2 +ǫφ− A i A i 4N 4 ∫ ( + Na3 d 3 xγ 2 1 δϕ ˙ 2 δϕ |i 2 N 2 −δϕ|i a 2 − 1 ) 2 V ϕϕδϕ 2 onde omitimos o termo de derivada total [ ∫ a2ȧ 6l 2 d 3 xγ 2 1 (ǫ i j ǫ i j − 1 ∫ N 2 ǫ2 )− a3 ϕ˙ 0 N d 3 xγ 1 2 (φ+ 1 2 ǫ)δϕ ] ˙ (3.41) O uso da equação (3.21) permite levar essa lagrangiana à forma L= Na ∫ ( 6l 2 d 3 xγ 2 1 A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + a N Ȧiǫ i j | j+ 1 2 ǫi j k | jǫ i |k +φ |i ǫ i j | j− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ |i ǫ |i + 1 ) ∫ ∫ 4 ǫ |iǫ |i − a3 − 2aȧ 3l 2 ∫ ϕ 0 + a3 ˙ N + ϕ˙ 0 2 a 3 2N d 3 xγ 2 1 ∫ d 3 xγ 2 1 ∫ ( φA i |i− 1 ) 2 A iǫ i j | j − a2 ȧ 3l 2 N ( ˙φ+ 1 ) ∫ 2 ˙ǫ δϕ+a 2 ϕ˙ 0 d 3 xγ 1 2 φ 2 + Na3 2 ∫ d 3 xγ 1 2 24l 2 d 3 xγ 2 1 φ 2 N ∫ d 3 xγ 2 1 a 2 ∫ φ˙ǫ− 6l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫA i |i ∫ d 3 xγ 2 1 δϕA i |i − Na 3 V ϕ d 3 xγ 2 1 φδϕ d 3 xγ 1 2 ˙ǫ 2 − aȧ2 l 2 N ( δϕ ˙ 2 δϕ |i N 2 −δϕ|i a 2 − 1 ) 2 V ϕϕδϕ 2 . Também aqui, vamos decompor as perturbações em modos escalares, vetoriais e tensoriais. Novamente os termos cruzados serão desprezados, por serem redutíveis a derivadas totais, e a ação se desacoplará em três setores independentes, consistentemente com a linearidade da teoria. No setor tensorial teremos como lagrangiana L (T) =− Na 24l 2 ∫ d 3 xγ 1 2 w i j|k w i j|k + a3 24l 2 N 49 ∫ d 3 xγ 2 1 w˙ i j w˙ i j ,
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( Para k menor do que o valor máxi
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P Φ ( ~ k)/ ~ k n S -1 , P h ( ~ k
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Apêndice A Determinação da Açã
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Por fim, através de R ναǫµ = W
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[36] S. W. Hawking, R. Laflamme, G.
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