Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

fica claro que as quantidades ˜φ e ˜ψ possuem valor médio zero. Com essas definições,
ds 2 se torna, omitindo os “˜”
( ) ( )
ds 2 = N 2 (t) 1+2φ(⃗x, t) dt 2 − a 2 (t) 1−2ψ(⃗x, t) γ i j dx i dx j
exatamente a expressão (5.1), com a diferença que agora as perturbações possuem
valor médio nulo. Vamos então admitir que tais redefinições tenham sido feitas
de agora em diante. Assim, as quantidadesφeψpodem sempre ser consideradas
como de valor médio zero, sem perda de generalidade, e os termos proporcionais
a elas emδ 1 S podem sempre ser anulados. Uma análise semelhante na densidade
de energia mostra que também sempre podemos considerar a perturbação na densidade
de energiaδε como tendo valor médio nulo. Deliberadamente em nossa
discussão não incluímos os modos escalares E e B. A razão para isso é que se
verifica por cálculo explícito que essas quantidades só aparecem emδ 1 S através de
seus laplacianos B |i i e E |i i e estes termos são redutíveis, via teorema de Gauss, a
termos de superfície que se anulam identicamente pela hipótese de que as seções
espaciais sejam topologicamente fechadas. Assim, todas as contribuições aδ 1 S
foram anuladas. Tal parcela da ação pode então ser desprezada.
A ação total, incluindo os termos de ordem zero e dois será então, usando
S= ∫ dtL,
L=−ȧ2 aV
l 2 N − Na3 ρ 0 V+ Na ∫ (
6l 2 d 3 xγ 2
1 A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + a N Ȧiǫ i j | j+ 1 2 ǫi j k
| jǫ i |k
+φ |i ǫ i j | j− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ |i ǫ |i + 1 ) ∫ ∫
4 ǫ |iǫ |i + a3
24l 2 d 3 xγ 2
1 ǫ˙
i j ǫ˙
i j − a3
N
24l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫ
2
N
∫
+ aȧ2
6l 2 d 3 xγ 2
(−9φ 1 2 − 3ǫφ− 3 N
4 ǫ2 + 3A i A i + 3 )
2 ǫi j ǫ i j − 2aȧ ∫ (
3l 2 d 3 xγ 2
1 φA i |i− 1 )
2 A iǫ i j | j
∫
+ a2 ȧ
(
3l 2 d 3 xγ 2
1 ǫ i j ǫ˙
i j − 1 ) ∫ ∫ (
N
2 ǫ ˙ǫ−φ˙ǫ − a2
6l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫA
i |i − Na 3 ρ 0 d 3 xγ 2
1 − 1 2 φ2 + 1 2 Ai A i
∫
−φχ i |i
)− Na 3 p 0 d 3 xγ 2( 1 1
2 ǫφ+ 1 4 ǫi j ǫ i j − 1 )
8 ǫ2 −φχ i |i + 1 ∫ (
2 Na3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2
1 a
2
˙χi N 2 ˙χ i
+2 a N A ˙χ i i + A i A
)− i 1 ∫
2 c2 sNa 3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2( 1 1
)
4 ε2 +χ i |iχ j | j−ǫχ i |i,
que corresponde à equação (3.31) do capítulo 3, adicionada do termo de ordem
zero.
Particularizando a discussão para o caso de um fluido perfeito (p 0 = λρ 0 ),
(5.2)
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