Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

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Nesse caso, o comutador entre dois vínculos de primeira classe quânticos obedeceria a [ ˆφ i , φˆ j ]|ψ>=ıCi k ˆφ j k |ψ>≈ 0, em acordo com o fato de o parêntese de Poisson entre eles se anular fracamente. Note que os vínculos de primeira classe representavam classicamente restrições sobre os estados acessíveis ao sistema físico e que quanticamente tais vínculos representam restrições sobre os estados quânticos que podem ser ocupados pelo sistema. No caso de haver vínculos de segunda classe, o processo de quantização se torna mais sutil. Se escolhêssemos a álgebra de comutadores a partir da álgebra dos parênteses de Poisson, e impuséssemos que o sistema físico deve ser descrito por um estado sujeito a ˆφ i |ψ>= 0, (2.6) como fizemos com os vínculos de primeira classe, teríamos uma inconsistência na teoria. Para ver isso, suponhamos que haja dois vínculos de segunda classe,φ i e φ j , tais que o parêntese de Poisson entre eles seja dado por O comutador entre tais operadores seria então {φ i ,φ j }=C i j . (2.7) [ ˆφ i , ˆφ j ]=ıĈ i j . (2.8) Impondo a condição (2.6), teríamos, no entanto, que o comutador entre tais vínculos deveria se anular [ ˆφ i , ˆφ j ]|ψ>= 0 o que só poderia ser satisfeito se Ĉ i j |ψ >= 0, o que em geral não é verdade. Se alternativamente impuséssemos a condição (2.5) para os vínculos de segunda classe, novamente cairíamos na inconsistência apontada para o caso dos vínculos de primeira classe, ou seja, de que os seus comutadores com qualquer função de ˆQ e ˆP deveriam se anular, contrariando a expressão obtida a partir dos parênteses de Poisson. Para contornar tais dificuldades, quantizamos a teoria criando a álgebra dos comutadores a partir dos parênteses de Dirac e aí sim impomos a condição (2.5). Como tais parênteses entre vínculos de segunda classe e qualquer quantidade do espaço de fase se anulam, também o comutador equivalente se anulará, consistentemente com (2.5). Isso significa que podemos encarar os vínculos de segunda classe de uma teoria quântica como identidades entre os operadores e não como restrições sobre os estados físicos. Lembremo-nos que também na teoria clássica, ao utilizarmos os parênteses de Dirac, pudemos pensar nos vínculos de segunda classe como identidades e não como simples restrições sobre as regiões do espaço de fase acessíveis ao sistema. 12
2.2 O Problema da Interpretação da Mecânica Quântica 2.2.1 Postulados da Interpretação Padrão da Mecânica Quântica (Copenhagen) Vamos apresentar um resumo da interpretação de Copenhagen [42, 43, 44, 45] da mecânica quântica, utilizada pela maioria dos físicos. Nossa análise não entrará a fundo em questões excessivamente técnicas pois as mesmas nos desviariam de nosso objetivo principal nesta seção, que é o de mostrar que tal interpretação possui contradições internas que, embora não prejudiquem a sua aplicação como um algoritmo eficiente na predição de resultados experimentais em praticamente todas as áreas da física, inviabilizam por completo a sua utilização de forma consistente na cosmologia quântica. Pressupõe-se durante toda esta seção que o leitor esteja familiarizado com o formalismo matricial da mecânica quântica. Os postulados da interpretação de Copenhagen são, portanto: 1. O estado de um sistema físico é completamente descrito por um vetor no espaço de Hilbert, que denotaremos por|ψ>. 2. Observáveis são descritos por operadores auto-adjuntos nesse espaço de Hilbert. 3. A dinâmica do sistema é descrita pela equação de Schroedinger ı d |ψ>= H|ψ> dt onde H é o operador hamiltoniano, construído a partir da hamiltoniana clássica (Visão de Schroedinger da mecânica quântica). 4. Os possíveis resultados de uma medida do observávelAsão os auto-valores do operador Â associado. 5. A probabilidade de, em uma medida do observávelA, obtermos um particular valor a i será|| 2 onde|a i > é o auto-vetor de Â associado ao auto-valor a i 4 . 6. Após a medida deA, o sistema é deixado no auto-estado|a i > associado ao auto-valor a i obtido na medida, independentemente de qual era o estado anterior do sistema. Note que os três últimos postulados dão um destaque especial ao processo de medida. Em função deste aspecto, vamos analisar com mais detalhes o que ocorre na medida de um observável. 4 por simplicidade estamos considerando nesta seção um observável com espectro discreto e não degenerado. 13
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[36] S. W. Hawking, R. Laflamme, G.
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