Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Definição Sejamφ i eφ j dois de um conjunto de n vínculos de uma teoria.φ i
é dito de primeira classe se
{φ i ,φ j }≈0
para todo j
Corolários
• Todo vínculo de primeria classe gera uma liberdade de calibre na teoria,
• Cada vínculo de primeira classe implica na redução de duas variáveis canônicas
na teoria
• Um observável A da teoria deve satisfazer a{A,φ i }≈0 para todoφ i de
primeira classe.
2.1.3 Vínculos de Segunda Classe - Parênteses de Dirac
Se o vínculoφ i tiver um parêntese de Poisson não fracamente zero com outro
vínculoφ j ele (e tambémφ j ) será dito de segunda classe. Nesse caso a conservação
deφ j fixará o multiplicador de Lagrangeλ i . Ou seja, não há indeterminação
nenhuma associada ao vínculoφ i . Dessa forma, vínculos de segunda classe não
geram liberdades de calibre.
Calculando a derivada no tempo do vínculo de segunda classeφ i obtemos
∑ ∑
˙φ i ={φ i , H+ λ j φ j }={φ i , H}+ λ j C i j .
j
Na expressão acima C i j é um elemento genérico da matriz formada pelos parênteses
de Poisson entre os vínculos de segunda classe independentes
j
C i j =:{φ i ,φ j }. (2.3)
Exigindo que tal derivada temporal se anule, para garantir a conservação deφ i ,
então teremos que o multiplicador de lagrangeλ k será dado por
∑
λ k =− Cki −1 {φ i, H},
k
onde estamos admitindo que a matriz C i j possui uma inversa, o que será confirmado
logo abaixo. Da expressão acima vem que a derivada temporal total de uma
quantidade qualquer A será dada por
∑ ∑
Ȧ={A, H+ λ i φ i }={A, H}−
i
i, j
{A,φ i }C −1
i j {φ j, H}=:{A, H} D
onde definimos a quantidade
∑
{A, B} D =:{A, B}− {A,φ i }Ci −1
j {φ j, B}, (2.4)
9
i, j