Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

A dinâmica das quantidadesδρ ⃗ (t) é, no entanto, extremamente complicada
k
de ser estudada devido à não linearidade inerente à teoria da relatividade geral.
Entretanto, enquantoδρ ⃗ (t) for suficientemente pequeno, poderemos lançar mão
k
de aproximações lineares para estudar sua evolução temporal. A esta teoria dá-se
o nome de teoria de perturbações cosmológicas. É nosso objetivo neste capítulo
apresentar os principais resultados e métodos dessa teoria.
Para esse estudo, vamos, inicialmente, descrever a cinemática das perturbações
em relatividade geral. Em seguida estudaremos a dinâmica das mesmas tentando
manter a generalidade dos resultados. O passo seguinte consiste em aplicar os resultados
obtidos aos modelos de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW),
discutindo aí a questão da invariância de calibre. O conteúdo material é analisado
em seguida. Mostraremos por fim como o uso das equações de movimento
do espaço-tempo de fundo pode levar a simplificações das equações que regem a
dinâmica das perturbações.
3.2 Perturbações em relatividade geral
3.2.1 Definição
Seja g (0) o tensor métrico de um espaço-tempo. Seja ˜g um outro tensor métrico
que pode ser construído sobre esse espaço-tempo. Se, para quaisquer vetores V e
W sobre esta variedade, a diferença
h(V, W)=: ˜g(V, W)−g (0) (V, W)
for infinitesimal, então diremos que h é uma perturbação de g (0) , sendo esta última
denominada métrica de fundo.
3.2.2 Quantidades Cinemáticas
Pela definição acima está claro que, em um sistema de coordenadas qualquer
h µν = ˜g µν − g (0)
µν.
Vamos, por enquanto, deixar de lado a questão da invariância de calibre.
Sendo V µ a velocidade própria de um observador genérico na geometria de
fundo
V µ V ν g (0)
µν= 1
então podemos decompor o tensor h µν como
2φ=h µν V µ V ν
A α = h µν V µ P ν α
ǫ αβ = h µν P µ αP ν β
Nas expressões acima, P µν = g (0)
µν−V µ V ν representa o projetor no espaço de repouso
local do observador V µ e índices são elevados e abaixados através da métrica g (0)
µν
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