Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Tomando como lagrangiana
∫ ∫
S m = dtL→L=−
d 3 x √ −gρ 0
teremos que P µ será dado por
P µ = ∂L
∂( dxµ
dt
).
(4.3)
Note que na expressão acima a velocidade é tomada como a derivada em relação
ao tempo t, que é o tempo que aparece na integral da lagrangiana para obtenção da
ação. No entanto, na lagrangiana, as velocidades que aparecem são tomadas como
derivadas em relação ao parâmetro de tempoσ, que, a priori, não possui nenhuma
relação funcional com o tempo coordenado t. A conclusão a que chegamos é a de
que a derivada em (4.3) é identicamente nula, sendo então identicamente nulo o
momentum P µ . Isso nos dá um vínculo primário para a teoria. O outro vínculo
primário é
P N ≈ 0.
Calculando a hamiltoniana do fluido mais gravitação temos
H=− Nl2 P 2 a
4aV
+ ∫
∫
d 3 xγ 2 1 Na 3 ρ 0 +
d 3 xγ 1 2 λ µ P µ +λ N P N . (4.4)
Nesta expressão, V representa o volume comóvel das seções espaciais, que estamos
considerando topologicamente fechadas, por hipótese (topologia não trivial, já que
a geometria é plana).
A conservação do vínculo P µ leva a
∫
∂
∂x µ d 3 xγ 2 1 ρ0 ≈ 0
condição que é identicamente satisfeita 1 . Dessa forma a conservação de P µ é identicamente
satisfeita. A conservação de P N leva a
H 0 =:− l2 P 2 a
4aV + ∫
d 3 γ 1 2 a 3 ρ 0 ≈ 0,
cuja conservação é identicamente satisfeita. Note que nenhum multiplicador de Lagrange
foi determinado. Os vínculos P N , P µ e H 0 são então vínculos de primeira
classe e portanto geradores de transformações de calibre. O vínculo P N é responsável
única e exclusivamente pelas transformações de calibre de N. As transformações
de calibre geradas pelos P µ só atuam sobre as coordenadas x µ , que se
alteram como
x µ 0 → xµ 0 +ǫµ
1 A densidade de energiaρ 0 não depende explicitamente do tempo, depende apenas do fator de
escala a, que é considerado uma variável dinâmica independente.
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