Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Apêndice A
Determinação da Ação do Setor
Gravitacional até a Segunda
Ordem nas Perturbações
Seja a métrica perturbada
˜g µν = g (0)
µν+ h µν .
A sua inversa será, desprezando termos de ordem 3 ou maior,
˜g µν = g (0)µν − h µν + h µ αh α ν.
Nas expressões acima os índices são elevados e abaixados com o uso da métrica de
fundo g (0)
µν e de sua inversa g (0)µν .
O determinante será
(
˜g=g (0) 1+h+ 1 2 h2 − 1 )
2 hµν h µν
e a sua raiz quadrada será
√
−˜g=
√−g (0) (1+ 1 2 h+ 1 8 h2 − 1 4 hµν h µν
)
.
Vamos agora calcular as quantidades{µν,α}, ˜ ˜Γ β µν, ˜R µ ναρ, ˜R νρ e ˜R, sempre até a
segunda ordem em h µν .
{µν,α}= ˜
1 ) (˜g µα,ν + ˜g να,µ − ˜g µν,α ={µν,α} (0) + 1 ) (h µα,ν + h να,µ − h µν,α
2
2
˜
Γ β µν= ˜g βα {µν,α}=Γ ˜ (0)β
µν + 1 (
h β µ;ν+ h β ;β
ν;µ− h µ;ν
)− 1 ) (h
2
2 hαβ αν;µ + h αµ;ν − h µν;α
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