Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

sultados pouco clara. Acrescente-se a essas dificuldades o fato de a ação acima
representar a ação de campos sobre um espaço-tempo (FLRW) que não possui um
vetor de Killing do tipo tempo, o que gera dificuldades também no momento de
quantizar a teoria.
Para contornarmos as dificuldades comentadas, podemos lançar mão da hipótese
de que o fundo obedece às equações de movimento clássicas. Assim, se na lagrangiana
acima integrarmos por partes os termos emǫ i j ǫ˙
i j eǫ ˙ǫ, e usarmos a
equação (3.6) para expressarmos os termos de derivada segunda do fator de escala
em função da pressão e da derivada primeira de a, obteremos que esta lagrangiana
se torna
L= Na ∫ [
6l 2 d 3 xγ 2
1 A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + a N Ȧiǫ i j | j+ 1 2 ǫi j k
| jǫ i |k +φ |i ǫ i j | j
− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ i ǫ |i + 1 ] ∫ ∫
4 ǫ iǫ i + a3
24l 2 d 3 xγ 2
1 ǫ˙
i j ǫ˙
i j − a3
N
24l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫ
2
N
∫ )
+ aȧ2
6l 2 d 3 xγ 2
(−9φ 1 2 − 3ǫφ+3A i A i − 2aȧ ∫ (
N
3l 2 d 3 xγ 2
1 φA i |i− 1 )
2 A iǫ i j | j
∫
− a2 ȧ
3l 2 d 3 xγ 1 a 2 ∫ ∫ (
2 φ˙ǫ−
N
6l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫA
i |i − Na 3 ρ 0 d 3 xγ 2
1 − 1 2 φ2 + 1 2 Ai A i
∫
−φχ i |i
)− Na 3 p 0 d 3 xγ 2( 1 1
)
2 ǫφ−φχi |i + 1 ∫ (
2 Na3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2
1 a
2
˙χi N 2 ˙χ i
+2 a N A ˙χ i i + A i A
)− i 1 ∫
2 c2 sNa 3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2( 1 1
)
4 ǫ2 +χ i |iχ j | j−ǫχ i |i
(3.32)
onde desprezamos o seguinte termo de derivada total:
[ ∫ a2ȧ
6l 2 d 3 xγ 2
(ǫ 1 i j ǫ i j − 1 )]
N
2 ǫ2 ˙ (3.33)
O uso da equação (3.5) permite uma segunda simplificação, levando a lagrangiana
(3.32) a assumir a forma
L= Na ∫ [
6l 2 d 3 xγ 2
1 A i| j A [i| j] − 1 4 ǫi j|k ǫ i j|k + a N Ȧiǫ i j | j+ 1 2 ǫi j k
| jǫ i |k +φ |i ǫ i j | j
− 1 2 ǫ |iǫ i j | j−φ |i ǫ |i + 1 ] ∫ ∫
4 ǫ |iǫ |i + a3
24l 2 d 3 xγ 2
1 ǫ˙
i j ǫ˙
i j − a3
N
24l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫ
2
N
∫
− aȧ2
l 2 d 3 xγ 2 1 φ 2 − 2aȧ ∫ (
N
3l 2 d 3 xγ 2
1 φA i |i− 1 ) ∫
2 A iǫ i j | j − a2 ȧ
3l 2 d 3 xγ 2 1 φ˙ǫ
N
∫ ∫
− a2
6l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ǫA
i |i − Na 3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2( 1 1
)
2 ǫφ−φχi |i
+ 1 ∫ (
2 Na3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2
1 a
2
˙χi N 2 ˙χ i + 2 a N A ˙χ
)
i i + A i A i
− 1 ∫
2 c2 sNa 3 (ρ 0 + p 0 ) d 3 xγ 2( 1 1
)
4 ε2 +χ i |iχ j | j−ǫχ i |i.
43
(3.34)