Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

lagrangiana quadrática em v que não contenha termos com derivadas de v maiores
que a primeira (condições satisfeitas para todas as variáveis perturbativas em nossas
lagrangianas), será
∫
L=
d 3 xγ 1 2
[ ]
α 1˙v 2 +α 2 v i v i +α 3 v 2 +α 4˙vv
ondeα 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 são funções das quantidades do fundo. O último termo pode
ser eliminado por integração por partes, restando apenas os 3 primeiros. A hamiltoniana
associada a uma tal lagrangiana é da forma
∫
H=
d 3 π
x
[β 2
1
γ 1 2
+γ 1 2
(β 2 v i v i +β 3 v 2 )]
(5.10)
ondeβ 1 ,β 2 eβ 3 são novas funções do fundo. O processo padrão de tratamento
de perturbações cosmológicas consegue, usando as equações clássicas do fundo,
obter a forma acima comβ 1 =β 2 = 1 2
(no calibre N= a). Vamos mostrar a partir
de agora que o mesmo pode ser feito sem o uso de tais equações.
Começamos calculando os parênteses de Dirac dessa teoria.
√ √
6l V
{ξ (ic) i i,ϕ} D =−√ √ a − 1
λ (λ+1)PT γ 2
1 2 (1−3λ) δ
{P a ,ϕ} D = 1 ( )
1−3λϕ.
2a
Os outros parênteses que não estão relacionados aos acima por simetrias, ou são
canônicos ou são irrelevantes para nossa discussão. Se agora definirmos as variáveis
ϕ (c) =: a 2 1 (1−3λ) ϕ
√ √ λ (λ+1)PT
( )
π ϕ (c) =:− √ √ γ 2
1 3ψ−ξ (ic) i i
6l V
π ψ (c) =π ψ − 3√ λ √ (λ+1)P T
√
6l
√
V
γ 1 2 ϕ(c) , (5.11)
construídas de forma que seus parênteses de Dirac sejam canônicos, então teremos
para a hamiltoniana
[
H=N− l2 P 2 a
4aV + P ∫
T
a 3λ+3l2 a ∫
− 3λ(λ+1)P T
8a 3 V
+ a
3l 2 ∫
d 3 x π2 ϕ (c)
−
γ 1 2
∫
λ
12l 2 a (2−3λ)
d 3 xγ 1 2 ϕ(c) ϕ i (c) i
√ √
d 3 xγ 2 1 ϕ
2 λ 3 l √ ∫
(λ+1)P T
(c)
−
2 2 a 3√ d 3 xϕ (c) π ψ (c)
∫
V
∫
d 3 xγ 2 1 ψψ
i i
]− N d 3 xφφ 6 +Λ N P N +Λ µ P µ + d 3 xΛ φ π φ
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