Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Apêndice B
Obtenção da Ação de um Fluido
Expandida até a Segunda Ordem
nas Perturbações
Na presença de perturbações as partículas do fluido são deslocadas de suas
posições originais, x µ , ao longo do vetor infinitesimalξ µ , que parametriza as perturbações.
˜x µ = x µ 0 +ξµ .
(B.1)
A métrica perturbada no ponto x+ξ será
˜g µν (x 0 +ξ)= ˜g µν (x 0 )+ ˜g µν,α ξ α + 1 2 ˜g µν,αβξ α ξ β ,
(B.2)
cujo cálculo explícito das componentes leva a
(
˜g 00 (x 0 +ξ)=N 2 1+2φ+2 Ṅ
N χ0 + 4 Ṅ
N φχ+2 ˙φχ+2φ i χ i + ¨N )
N χ 2 + Ṅ2
N 2χ2
˜g 0i (x 0 +ξ)=−NaA i − ṄaA i χ− NȧA i χ− NaȦ i χ− NaA i, j χ j
˜g i j (x 0 +ξ)=−a 2 γ i j + a 2 ǫ i j − 2ȧaγ i j χ+2ȧaǫ i j χ+a 2 ǫ i j,k χ k − äaγ i j χ 2 − ȧ 2 γ i j χ 2 .
Para a obtenção dessas expressões, usamos o fato que K = 0 e fomos para um
sistema de coordenadas cartesiano, no qualγ i j,k = 0. O resultado final desses cálculos
(densidade de partículas, de energia e a ação) sendo quantidades tensoriais,
será válido em qualquer sistema de coordenadas.
Das expressões acima tiramos
˜g µν (x 0 +ξ) ∂(xµ 0 +ξµ ) ∂(x0 ν+ξν )
=
∂σ ∂σ
(
g (0)
µν
∂x µ 0
∂σ
∂x0
ν )(
∂σ
1+2φ+2 Ṅ
N
χ+2 ˙χ
+4 Ṅ
N φχ+2 ˙φχ+2φ i χ i + ¨N
N χ 2 + Ṅ2
N 2χ2 + 4 ˙φχ+4 Ṅ
N χ ˙χ+ ˙χ 2 − 2 a N A i ˙χ i
)
− a2
N 2γ i j ˙χ i ˙χ j (B.4)
116
(B.3)