Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

essa lagrangiana se simplifica para
∫
d 3 xγ 1 2 V
[i| j] V [i| j] .
No setor escalar, após algumas integrais por partes a lagrangiana passa a ser 7
L (E) = Na ∫ ∫ ∫
6l 2 d 3 xγ 2
(2ψ 1 i ψi−4φ i ψ
)− i a3
l 2 d 3 xγ 2 1 ˙ψ 2 − ȧ2 a
N
l 2 d 3 xγ 2 1 φ
2
N
∫ ∫ ∫
− 2a2 ȧ
l 2 d 3 xγ 2 1 φ ˙ψ+ a3 ϕ˙
0
d 3 xγ 2( 1 ˙φ+3 ˙ψ
)δϕ− Na 3 V ϕ d 3 xγ 2 1 φδϕ
N
N
∫
+ Na3 d 3 xγ 1 1
2(
2
N ˙
2 δϕ 2 − 1 a 2δϕi δϕ i − 1 )
2 V ϕϕδϕ 2 + ϕ˙
0 2 a 3 ∫
d 3 xγ 2 1 φ
2
2N
(
− 2a2 ˙ψ+ ȧ
3l 2 a φ− 3l2 ϕ˙
)
0
2 δϕ (B− a N Ė)i i
que corresponde àquela apresentada por Mukhanov et. al. [34], também apresentada
nesta tese na equação (3.42).
As hamiltonianas associadas a essas lagrangianas serão apresentadas a seguir.
No setor tensorial, a hamiltoniana será dada por
H (T) = 6l2 N
a 3
∫
d 3 x πi j π i j
γ 1 2
+ Na
24l 2 ∫
d 3 xγ 1 2 w
i j|k w i j|k
exatamente a mesma obtida no caso do fluido adiabático. Esse resultado já era
esperado, uma vez que tanto as perturbações do campo escalar quanto as do fluido
adiabático são desprovidas de componentes tensoriais. Assim, as perturbações
nesse setor são devidas inteiramente ao próprio campo gravitacional, não distinguindo
portanto entre diferentes fluidos.
No setor vetorial, na passagem da lagrangiana para a hamiltoniana aparece o
vínculo
π i V ≈ 0 (5.31)
e a hamiltoniana é
∫
d 3 xγ 2 1 1 ∫
2 V iV i| j | j+
d 3 xΛ i π i .
A conservação do vínculo (5.31) dá origem ao vínculo secundário
V i| j | j≈ 0. (5.32)
A conservação deste vínculo determina o multiplicador de LagrangeΛ i . Os vínculos
neste setor são de segunda classe e, se descrevermos a dinâmica em termos de
parênteses de Dirac (cuja forma explícita não nos é relevante), poderemos encarar
esses vínculos como identidades e a hamiltoniana será então anulada.
7 novamente definimos F=: B−aĖ/N
H (V) = 0.
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