Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Quando da análise feita no capítulo 3 a ação S (0) foi desconsiderada pois supusemos
que o espaço-tempo de fundo era clássico e já conhecido. Assim não
era necessário tratar tais termos. A ação da ordem um,δ 1 S , foi desconsiderada
pois pelo princípio de ação estacionária, tal termo tem que se anular pelo uso das
equações clássicas do fundo. Restou apenasδ 2 S para ser tratada pelo formalismo.
No caso presente somos obrigados a tratar S (0) juntamente comδ 2 S , uma vez
que queremos quantizar também o fundo. Com relação aos termos de ordem um,
estes podem novamente ser desprezados pela hipótese de que as perturbações tenham
valor médio espacial nulo, ou seja
∫
d 3 x √ ∫
−gh µν = 0 e d 3 x √ −gδ 1 ρ.
Na realidade em Universos de FLRW tal hipótese pode ser relaxada, exigindose
que apenas as perturbações escalaresφ,ψeξtenham valor médio nulo. A
razão para isto está no fato de que na ação de ordem um apenas estes termos estão
presentes, já que a única forma de as quantidades w i j , S i , F i eη i aparecerem na
açãoδ 1 S seria atavés das divergências S i |i, F i |i,η i |i e w i j |i j e do traço w i i, sendo
que todas essas quantidades são identicamente nulas por construção. Por outro lado
a exigência de queφ,ψeξtenham valor médio nulo pode sempre ser satisfeita,
sem perda de generalidade. Suponhamos o elemento de linha perturbado 2
( ) ( )
ds 2 = N 2 (t) 1+2φ(⃗x, t) dt 2 − a 2 (t) 1−2ψ(⃗x, t) γ i j dx i dx j . (5.1)
Decomporemosφeψem
φ(⃗x, t)= ¯φ(t)+φ (0) (⃗x, t)
φ(⃗x, t)= ¯ψ(t)+ψ (0) (⃗x, t),
onde ¯φ(t) e ¯ψ(t) são os valores médios espaciais deφ(⃗x, t) eψ(⃗x, t), supostos não nulos,
eφ (0) (⃗x, t) eψ (0) (⃗x, t) são obviamente campos de valor médio nulo. O elemento
de linha perturbado será então
( ) ( )
ds 2 = N 2 (t) 1+2 ¯φ(t)+2φ (0) (⃗x, t) dt 2 − a 2 (t) 1−2 ¯ψ(t)−2ψ (0) (⃗x, t) γ i j dx i dx j .
Definindo
( )
Ñ(t)=N(t) 1+2 ¯φ(t)
( )
ã(t)=a(t) 1−2 ¯ψ(t)
( )
˜φ(⃗x, t)=φ (0) (⃗x, t) 1−2 ¯φ(t)
( )
˜ψ(⃗x, t)=ψ (0) (⃗x, t) 1−2 ¯ψ(t)
2 Somente exibimos as perturbações escalares por simplicidade notacional
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