Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

O operador
Ĥ= l2
4V a 3λ−1
2
∂
(
a 3λ−1
2
∂a
∂
)
∂a
não é hermitiano sobre todo o espaço de Hilbert, ou seja, dadas duas funções de
ondaφeψ, a igualdade
= ∗ (4.7)
pode não ser satisfeita [71]. Dado que
=
∫ a
0
daa − 3λ−1
2 φ ∗ l2
4V a 3λ−1
2
∂
(
a 3λ−1
2
∂a
∂ψ
)
,
∂a
onde a − 3λ−1
2 é a raíz quadrada do determinante da métrica do espaço de Hilbert,
então, para que a igualdade (4.7) seja válida, devemos ter
[
a − 3λ−1
2
(
φ ∗∂ψ )] ∞
∂a −ψ∂φ∗ ∂a 0
= 0.
Sob a hipótese de que as funções de onda vão a zero suficientemente rápido para
a→∞, então teremos que a expressão acima se reduzirá a
φ ∗∂ψ
∂a −ψ∂φ∗
∂a∣ = 0.
a=0
Essa condição será satisfeita se todas as funções de onda do espaço de Hilbert
satisfizerem à condição de contorno
ψ
∣ =α ∂ψ
a=0 ∂a∣ (4.8)
a=0
com o mesmoαreal para todas as funções de onda. Dessa forma obtemos um
espaço de Hilbert reduzido, caracterizado pelo particular valor deαescolhido. A
função de onda do Universo deverá estar contida neste espaço, para que tenhamos
conservação de probabilidades.
Vamos agora resolver a equação (4.6). Inicialmente definimos a variável auxiliar
x por
x= 2√ V
l
Em termos desta variável a equação (4.6) fica
2
3(1−λ) a 3(1−λ)
2 .
1∂ 2 ψ
4∂x 2=ı∂ψ ∂T
e impondo a condição inicial(ver [76], além de [75] e referências ali contidas.)
( 8
) 1
4 −
ψ(x, 0)= e
T x2
0
T 0 π
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