Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

ξ (ic) =ξ+E. Em termos desta variável, a lagrangiana escalar se torna
L E =−ȧ2 aV
l 2 N − Na3 ρ 0 V+ Na ∫ ∫
3l 2 d 3 xγ 2
(ψ 1 i ψ i − 2φ i ψ i
)− 2a2
3l 2 d 3 xγ 2
1
∫
− Na3 λ(λ+1)ρ
(
0
d 3 xγ 2
1 3ψ−ξ (ic) i i+ 1 ) 2+
2 λ φ Na 3 ∫
(λ+1)ρ 0
d 3 γ 1 2 φ
2
2λ
+ 1 ∫ (
2 Na3 (λ+1)ρ 0 d 3 xγ 2
1 a
N ˙ξ
)( a
) ∫
(ic) i + F i (ic) ˙ξ
N
i
+ F i − a3
Nl 2 d 3 xγ 2
1
(
˙ψ+ ȧ
a φ )
F i i
(
˙ψ+ ȧ
a φ ) 2.
Como as perturbações escalares deslocam as partículas do fluido ao longo do
vetor irrotacionalξ |i , podemos encarar a quantidade ˙ξ |i como a velocidade, irrotacional,
das partículas do fluido em relação às suas posições não perturbadas. O fato
dessa velocidade ser irrotacional nos permite definir um potencial velocidade, que
tomaremos como sendo
√ √ 6la
2
(λ+1)ρ
( 0 a
ϕ= √
λ N ˙ξ
)
(ic) + F
(5.8)
de acordo com a literatura [34]. Com essa definição a lagrangiana assume a forma
L E = Na ∫ ∫ (
3l 2 d 3 xγ 2
(ψ 1 i ψ i − 2φ i ψ i
)− 2a2
3l 2 d 3 xγ 2
1 ˙ψ+ ȧ ) ∫ (
a φ F i i− a3
Nl 2 d 3 xγ 2
1 ˙ψ+ ȧ ) 2
a φ ∫
− Na3 (λ+1)ρ
[ ( )
0
2+ ( )]
d 3 xγ 2
1 λ 3ψ−ξ (ic) i i 2φ 3ψ−ξ (ic) i i + Nλ ∫
2
12l 2 d 3 xγ 2 1 ϕ i ϕ i
a
e, por causa dessa mesma definição somos agora obrigados a utilizar o formalismo
de Ostrogradski na construção da hamiltoniana.
Temos então como momenta
P a =− 2ȧaV
Nl 2
P N = 0
P µ = 0
π φ = 0
π F = 0
π ϕ = 0
− 4a
6l 2 ∫
d 3 xγ 1 2 φF
i i − 2ȧa
Nl 2 ∫
π ψ =− 4a2
6l 2γ 1 2 F
i i − 2a3
Nl 2γ 1 2 ˙ψ− 2a2 ȧ
Nl 2γ 1 2 φ
Note o aparecimento dos vínculos
φ 1 = P N
φ 2 =π F
φ 3 =π φ
φ 7 =π ϕ
φ 9 = P µ
d 3 xγ 1 2 φ 2 − 2a2
Nl 2 ∫
d 3 xγ 1 2 φ ˙ψ
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