Teoria de Perturbações Invariantes de Calibre em ... - CBPFIndex

Capítulo 2
Aspectos Conceituais
2.1 Quantização de Sistemas Vinculados
Ao se estudar a dinâmica quântica de um sistema físico parte-se de uma lagrangiana
construída a partir de critérios cinemáticos ou de forma a gerar equações
de movimento já conhecidas na teoria clássica. Uma vez conhecida tal lagrangiana,
pode-se quantizar diretamente a teoria (Quantização Funcional) [37, 38] ou construir,
ainda no âmbito da mecânica clássica, um espaço de fase onde, a partir da
lagrangiana, construímos uma hamiltoniana. A partir deste espaço podemos proceder
à Quantização Canônica da teoria [39]. Os detalhes da passagem lagrangiana
- hamiltoniana, bem como da construção do espaço de fase e de sua estrutura simplética
(Parênteses de Poisson) não serão aqui abordados por fugirem ao escopo da
presente tese. Tampouco será abordada aqui a questão da quantização funcional,
por ser o trabalho por ora desenvolvido baseado na abordagem canônica do processo
de quantização.
No entanto, em alguns sistemas físicos, a passagem da lagrangiana para a
hamiltoniana e a construção do espaço de fase da teoria podem apresentar algumas
complicações. É nosso objetivo neste capítulo abordar o tratamento destes
casos, por se tratar de material considerado fundamental para o entendimento do
desenvolvimento da tese. Para maiores detalhes veja [40, 41].
Suponhamos que se tenha uma lagrangiana L(q i , ˙q i , t) 1 , onde q i representa
um dos N graus de liberdade da teoria. Se ocorrer de o jacobiano de∂ 2 L/∂˙q i ∂˙q j se
anular, então nós diremos que o sistema em questão é vinculado (as razões para este
nome ficarão claras no que segue). Como o momentum canonicamente conjugado
à variável q i é definido por∂L/∂˙q i então a condição anterior para que o sistema seja
vinculado é traduzida por‖∂p i /∂˙q j ‖. O fato de tal determinante se anular significa
que existe pelo menos um momentum p i (ou pelo menos uma combinação linear
de p i ’s) que não depende de nenhum ˙q. Ou seja, não se pode inverter alguns dos
1 Vamos, por simplicidade, trabalhar com graus de liberdade discretos. A generalização para
graus de liberdade contínuos, e com propriedades de transformação escalares, vetoriais ou tensoriais
é imediata
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