Vorlesungsskript

2 Optimalitätsbedingungen erster Ordnung - Eu-
lersche Differentialgleichung und die Bedingung
von Weierstraß
2.1 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung
Es bezeichne im weiteren Z0 := {x(·) ∈ Z | x(a) = x(b) = 0.}
Lemma 2.1. Es seien M = M(t), N = N(t) reell und stückweise stetig auf [a, b].
Es gelte
b
L(z) = M(t)z(t) + N(t) ˙z(t) dt = 0, ∀z ∈ Z0. (2.4)
a
Dann folgt in jedem Stetigkeitspunkt t ∈ [a, b] der Funktion N
t
N(t) = M(s)ds + C, (2.5)
und umgekehrt impliziert Beziehung (2.5) die Beziehung (2.4) .
a
Vorbetrachtung: (i) Unter der Annahme hinreichender Glattheit ist der Satz klar,
denn: b
b
{Mz + N ˙z} dt = {Mz − ˙ Nz} dt + N(b) z(b)
Folglich gilt
a
a
=0
−N(a) z(a)
=0
b
{Mz + N ˙z} dt = 0 ⇔ M(t) = ˙ N(t) ∀t ∈ [a, b],
a
und damit (2.5). Das Problem ist die reduzierte Regularität.
(ii) Kritische Funktionen z = z(t) ∈ Z0 müssen im Prinzip die Forderug erfüllen
⎧
⎨1,
z(s) =
⎩0,
s ∈ [0, t]
s > t,
˙z(a) = δ(a), ˙z(t) = −δ(t).
Proof. Es gelte L(z) = 0, ∀z ∈ Z0 (auf [a, b]) und es sei ¯t ein Stetigkeitspunkt von
N(·). Wir wählen nun ein ε ∈ (0, ¯t−a
2 ) und setzen zε wie folgt (s. nächste Seite)
Offenbar gilt zε ∈ Z0 und ˙zε = 0 nur auf der Menge [a, a + ε] ∪ [¯t − ε, ¯t]. Weiter
gelte o.B.d.A. N(a) = N(a + 0) (d.h., N(·) ist stetig in a), sonst Umdefinition (die
Aussage von (2.4) bleibt davon unberührt). Wegen (2.4) gilt dann für alle ε
¯t
0 = M(t)zε(t)dt + 1
a+ε
N(t)dt −
ε
1
¯t
ε
N(t)dt (+)
a
a
6
¯t−ε