Vorlesungsskript

1.4 Schwache und starke lokale Extrema
In Analogie zu endlichdimensionalen Optimierungsaufgaben können (müssen) auch
lokale Minima betrachtet werden. Maßgeblich bestimmt durch die neue Qualität
der Optimierungsvariablen (Funktionen) sind hier bereits (mindestens) zwei signifi-
kant verschiedene Begriffsbildungen sinnvoll. Beide können über eine adäquate Ein-
schränkung der Menge R definiert werden.
Definition 1.4. Es sei die Funktion x0(·) ∈ Z mit x(a) = xa, x(b) = xb gegeben
(also x0(·) ∈ M). Dann heißt die Funktion x0 ein schwaches lokales Minimum
für das Funktional J , wenn ein ε > 0 existiert, so daß x0 die Aufgabe (1.3) bzgl. der
Menge R 1 ε löst anstelle von R. Dabei ist
R 1 ε := R ∩ {(t, x, ˙x)|t ∈ (a, b), |x − x0(t)| + | ˙x − ˙x0(t)| < ε}.
Analog heißt die Funktion x0 ein starkes lokales Minimum, wenn diese optimal
ist bzgl. R 0 ε mit
R 0 ε := R ∩ {(t, x, ˙x)|t ∈ (a, b), |x − x0(t)| < ε}.
Veranschaulichung: Lokales Minimum bedeutet J (x0(·)) ≤ J (x(·)), ∀x ∈ U(x0) ∩
M. Je nachdem, wie der Umgebungsbegriff gewählt wird, erhält man die beiden
Begriffe:
a) Schwaches lokales Minimum bedeutet U(x0(·)) = U 1 ε (x0(·)) (ε-Kugel im Sinn
von C 1 [a, b]).
b) Starkes lokales Minimum bedeutet U(x0(·)) = U 0 ε (x0(·)) (ε-Kugel im Sinn von
(Skizze)
C[a, b]).
Bemerkung 1.5. Es gilt (natürlich) U 1 ε (x0(·)) ⊂ U 0 ε (x0(·)), d.h., jedes starke lokale
Minimum ist auch ein schwaches, aber i.a. nicht umgekehrt.
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