Vorlesungsskript

Dies ist ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Ordnung und wird auch Fun-
damentalsystem der Variationsrechnung genannt. Dies ist lösbar (in einem
Gebiet V ), falls V einfach zusammenhängend ist und die Integrabilitätsbedingung
ax = bt erfüllt ist, d.h., es muß gelten:
∂
f(t, x, Γ(t, x)) − Γ(t, x)f ˙x(t, x, Γ(t, x))
∂x
= ∂
∂t f ˙x(t, x, Γ(t, x)).
Dies ist genau dann erfüllt, wenn Γ ein Extremalenfeld definiert. Im ” Nachgang“
dieser Betrachtungen kann man zeigen: Die Gefällefunktion eines zentralen Feldes
ist (unter ” generischen Voraussetzungen“) ein Mayerfeld.
(v) Aus diesem Betrachtungen leiten sich weiterhin (in der Hamiltonschen Formu-
lierung) die (sogenannten) Hamilton-Jacobigleichungen ab (hyperbolische Er-
haltungsgleichung 1. Ordnung), die wesentlicher Bestandteil der mathematischen
Grundlagen der (insbesondere nichtlinearen) Regelungstheorie darstellen.
In einem Mayerschen Feld gilt folgende wichtige Beziehung:
Satz 5.6. Es sei x0 eine Extremale des Variationsproblems (1.3) und enthalten in
V . Weiter sei Γ(t, x) ein Mayerfeld über V , welches x0 = x0(t) überdeckt (x0 ist
Trajektorie von Γ. Dann gilt für jedes zulässige x = x(t), welches die Punkte (a, xa)
und (b, xb) in V verbindet
b
J (x(·)) − J (x0(·)) = E(t, x(t), Γ(t, (x(t)), ˙x(t)) dt (5.36)
5.2 Hinreichende Optimalitätsbedingungen
a
Erinnerung: Definition 1.4 aus Abschnitt 1.4 (starkes und schwaches lokales Mini-
mum). Die dort eingeführten Begriffe sind äquivalent zur Existienz eines ˜ε so daß
(a) x0 ist schwaches lokales Minimum von (1.3)
⇔ J (x0(·)) ≤ J (x(·))∀x ∈ M mit |x − x0| C 1 ≤ ˜ε.
(b) x0 ist starkes lokales Minimum von (1.3)
⇔ J (x0(·)) ≤ J (x(·))∀x ∈ M mit |x − x0|C ≤ ˜ε.
Satz 5.7. Hinreichend dafür, daß x0 ein starkes lokales Minimum für (1.3) liefert,
ist
a) x0 Extremale ist (Lsg. der Eulergleichung);
38