Vorlesungsskript

gibt es hingegen kein (praktikables) generelles Kriterium mehr dafür, ob singuläre
Steuerungen auftreten oder nicht. Dies kann nur in (sehr) speziellen Fällen ausge-
schlossen werden, ud muß somit für jede konkrete Aufgabe untersucht werden.
Beispiel 3.5. Maschinenreparatur-Problem:
Wir führen folgende Bezeichnungen ein
T : Nutzungsdauer einer Maschine oder Anlage
x(t) : Qualität des Produkts oderZustand der Anlage zur Zeit t; x(t) ∈ [0, 1]
u(t) : Reparaturaufwand oder Wartungskosten zur Zeit t; u(t) ∈ [0, ū]
δ : Verschleiß- oder Abutzungsrate der Maschine (Anlage)
g : Reparatur-Effiktivitätskoeffizient
π : Produktionsrate der Maschine oder Anlage
Dann kann man das Problem wie folgt formulieren
Maximiere F (x, u) =
T
πx(t) − u(t) dt
0
unter ˙x(t) = −δx(t) + gu(t), t ∈ (0, T ],
x(0) = 1, x(T )) frei,
u ∈ [0, ū].
Stellt man für die Parameter des Problems die (natürliche) Forderung
gū < δ (Maximal mögliche Wartungs-/Reparaturintensität < Verschleiß), so folgt
für den Zustand
gū < δ ⇒ x(t) ∈ [0, 1], für alle t ∈ [o, T ].
Der Endzustand ist frei, also kann man nach Folgerung 3.2 in der Hamiltonfunktion
λ0 = 1 setzen, somit
H(x, λ, u) = −(πx(t) − u(t)) + λ(−δx + gu)
= −(π + δλ)x + (1 + gλ)u
Die adjungierte Differentialgleichung (hier: Endwertproblem)
hat die Lösung
˙λ = −Hx(x, λ, u) = π + δλ,
λ(t) = π δ(t−T )
e − 1 .
δ
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λ(T ) = 0.