Vorlesungsskript

Γ+ := {(x1, x2) ∈ R 2 | x1 = 1
2 x2 2 und x2 ≤ 0}.
• Der Fall u ∗ (t) ≡ −1: Jetzt folgt aus ˙x1 = x2, ˙x2 = −1 und x(T ) = (0, 0) T
x2(t) ≥ 0,
˙x1
˙x2
= dx1
dx2
= −x2 ⇒ x1 = −x 2 2/2 ⇒ Wir setzen
Γ− := {(x1, x2) ∈ R 2 | x1 = − 1
2 x2 2 und x2 ≥ 0}.
Alle Schaltpunkte liegen auf der Schaltkurve S = Γ− ∪ Γ+. Wir erhalten die
Synthese-Steuerung (Feedback-Steuerung):
u ∗ = u ∗ ⎧
⎨−1,
falls (x1, x2) oberhalb von S oder auf Γ−,
(x1, x2) :=
⎩1,
falls (x1, x2) unterhalb von S oder auf Γ+.
Die optimale Steuerung kann also zu jedem Zeitpunkt aus der Messung des Zu-
standes bestimmt werden u ∗ (t) = u ∗ (x1(t), x2(t)). Mit der Struktur der optimalen
Steuerung kann man auch den Schaltpunkt t1 und die Endzeit explizit bestimmen
(i)x0unterhalb von S : t1 = −x20 + −x10 + x 2 20/2 und T ∗ = 2t1 + x20
(ii)x0oberhalb von S : t1 = x20 + x10 + x 2 20/2 und T ∗ = 2t1 − x20.
Schließlich kann mit Hilfe der Transversalitätsbedingung ((iii), Satz 2.25) noch die
adjungierte Variable (bzw. die Konstanten c, d) bestimmt werden.
H(x(T ), λ(T ), u(T )) = 1 + λ1(T )x2(T ) + λ2(T )u(T )
= 1 + λ2(T )u(T )
ergibt - etwa für x0 oberhalb von S (also u(T ) = 1)
λ2(t1) = ct1 + d = 0,
λ2(T ) = cT + d = −1,
die Lösung c = −1/(T − t1) und d = t1/(T − t1).
!
= 0
Teil b - Ungedämpfter harmonischer Oszillator: Problemstellung
T → min, bei
˙x1(t) = x2(t), x(0) = x∈R 2 ,
˙x2(t) = −x1(t) + u(t), x(T ) =
0
0
, u(t) ∈ [−1, 1].
Das System ist normal, also ist die optimale Steuerung bang-bang. Die Hamilton-
funktion lautet (autonom)
H(x, λ, u) = 1 + λ1x2 + λ2(−x1 + u).
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