Vorlesungsskript

Die Schaltfunktion und deren erste Ableitung nach der Zeit ist
Daraus ergibt sich
σ
˙σ
=
=
c
λv − λm
m ˙ c c ˙m
λv − λv
m m2 − ˙ =
λm
Dv c
− λh + λv
m m
=
c D + cDv
−λh + λv
m m2 .
− λv
−cu cu − D
− λv
m2 m2 ¨σ = d
c D + cDv
− λh + λv
dt m m2
≡ 0
= − ˙ c c ˙m
λh + λh
m m2 + ˙ D + cDv
λv
m2
(D + cDv)h
+λv
˙ h + (D + cDv)v ˙v
m2 − 2 (D + cDv) ˙m
m3 =
Dh c cu
−λv + gh − λh
m m m2
(D + cDv)v(cu − D) + 2(D + cDv)u
+λv
m2 =
+ . . .
¯b(x, λ)u + ā(x, λ) ≡ 0
Es gilt also q = 1 und die singuläre Steuerung kann aus obiger Beziehung (im
Prinzip) berechnet werden. Dabei können hier noch die Dualvariablen vollständig
eliminiert werden, man erhält
using = D
c + mDh(c − v) + Dvg + cDvvg − cDvhv + cmgh
D + 2cDv + c2 .
Dvv
Eine andere Berechnungsmöglichkeit für die singuläre Steuerung:
Das Problem ist autonom und die Endzeit T ist frei, also gilt
H(t) ≡ 0, ∀t ∈ [0, T ], σ(t) ≡ 0, ∀t ∈ [t1, t2] ⇒
λhv − λv( D
m + g) ≡ 0, ∀t ∈ [t1, t2].
Zusammen mit σ = σ (1) ≡ 0 auf dem singulären Teilstück stellen diese 3 Gleichun-
gen ein ein lineares, homogenes Gleichungssystem in den 3 (nicht verschwindenden)
Variablen λ dar
⎛
0
⎜
A(x) · λ = 0, mit A = ⎝−
c
88
c
m
D+cDv
m m2 v −g − D
m
⎞
−1
⎟
0 ⎠
0