Vorlesungsskript

Folglich muß die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden
m 2
c
· det A(x) = D + mg − v
c D − vDv = 0 =: S(x).
Die Lösung dieser Gleichung stellt eine zweidimensionale Fläche im R 3 dar, die
singuläre Fläche des Problems. Mit
d
S(x(t)) = 0
dt
gewinnt man obigen Ausdruck für die singuläre Steuerung zurück. Weiterhin gilt
H(T ) = −v(T ) + σ(T )u(T ) = 0
Mit der (physikalisch plausiblen) Bedingung u(T ) = 0 schließt man damit auf v(T ) =
0. Wegen v(0) = v(T ) = 0 gilt auch
S(x(0)) = m0g(h0) > 0, S(x(T )) = mT g(h(T )) > 0,
also kann ein singulärer Schub nur im inneren des Intervalls [0, T ] auftreten, d.h.,
bei Auftreten eines singulären Schubs gilt 0 < t1 < t2 < T . Man kann zeigen, daß
die optimale Steuerung die folgende Struktur (vgl. Ill.-bsp. 5) besitzt
u ∗ ⎧
⎪⎨
umax, 0 ≤ t ≤ t1,
(t) = using(t),
⎪⎩ 0,
t1 < t ≤ t2,
t2 < t ≤ T.
Die Zeitpunkte t1, t2 und die optimale Endzeit T kann durch Integration der Zu-
standsgleichung in folgender Art und Weise gewonnen werden:
(a) Zeitpunkt t1: Integriere die Zutandsgleichung mit u = umax, bis gilt S(x(t1)) = 0.
(b) Zeitpunkt t2: Integriere mit using solange, bis gilt m(t2) = mT .
(c) Endzeit T : Integriere mit u = 0 solange, bis gilt v(T ) = 0.
89