Vorlesungsskript

Da u nur linear im Problem auftritt, gilt dann für dieses ¯ k:
σ (¯ k) = ā(t, x, λ) + ¯ b(t, x, λ)u.
Eine singuläre Steuerung u(·) ist also auf einem singulären Teilstück charakterisiert
durch
σ (¯ k) (t, x(t), λ(t)) ≡ 0, für alle k = 0(1) ¯ k. (3.45)
Falls auf dem fraglichen Teilstück gilt ¯ b(t, x(t), λ(t)) = 0, so erhält man
ā(t, x(t), λ(t))
u(t) = −
¯
. (3.46)
b(t, x(t), λ(t))
Satz 3.7. (i) Gilt die Beziehung (3.44), so ist ¯ k eine gerade Zahl, also ¯ k = 2q. Die
Zahl q heißt die Ordnung der singulären Steuerung.
(ii) Für eine optimale Lösung (x(·), u(·), λ(·) gilt die verallgemeinerte Legendre-
Chlebsch-Bedingung
0 ≤ (−1) q¯ b(t, x(t), λ(t)) = (−1) q ∂
∂u
2q d
Hu(t) .
dt2q Die Ordnung q hängt nicht von der Endzeit T und den Randbedingungen ab (wie
gesehen, beinflussen diese allerdings das Auftreten von singulären Steuerungen). Im
vorherigen Beispiel hat man
σ (o) = σ = λ,
σ (1) = ˙ λ = −x,
σ (2) = − ˙x = −u,
also ist ¯ k = 2 und q = 1. Weiter hat man im Beispiel
ā(t, x(t), λ(t)) = 0, ¯ b(t, x(t), λ(t)) = −1,
also u = 0, und (−1) q¯ b = 1 > 0.
Bei speziellen Problemen ist es möglich, aus den Gleichungen (vgl. (3.45))
σ (¯ k) ≡ 0, für alle k = 0(1)(2q − 1),
eine Gleichung im Zustandsraum in der Form
S(t, x(t)) = 0, S : R n+1 → R,
zu bestimmen. Die optimale Lösung besteht dann in einer ” raschest möglichen
Annäherung“ an diese singuläre Trajektorie und der (rückwärts gesehen) ” raschest
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