Vorlesungsskript

mit der (eindeutigen) Lösung ¯y = ¯y(t) = sin t. Deren erste (positive) Nullstelle
τ0 = π ist folglich ein kritischer Wert für die Intervalllänge T .
(i) Zunächst gilt für T ≤ π die folgende Umformung
=
T
0
˙x 2 − x 2 dt =
T
{ ˙x 2 + x 2 cot 2 t − 2x ˙x cot t}dt =
0
T
0
˙x 2 + x 2
cot 2 t − 1
T 2dt. ˙x − x cot t
(ii) Für T > π betrachten wir folgende Störungen von x ∗ ≡ 0
xλ = x(t; λ) := λ sin πt
⇒
T
T
2
λ2 π
J (xλ)) = − 1
2 T 2
Aus den bisherigen Betrachtungen können wir wie folgt zusammenfassen
• Für T < π stellt x ∗ ≡ 0 die eindeutige (globale) Minimallösung dar.
0
sin t
dt =
• Für T = π exisitert eine einparametrische (zusammenhängende) Schar von
globalen Minima x∗ C = C sin t, C ∈ R.
• Für T > π, T = kπ ist x ∗ ≡ 0 die (einzige) Lösung de Eulergleichung, aber
stellt nicht mal ein lokales Minimum dar ( ” Sattelpunkt“).
• Für T = kπ, k ≥ 2, k ∈ N existieren unendlich viele Lösungen der Eulerschen
Gleichung, diese stellen alle weder ein globales noch lokales Minimum dar.
Bemerkung 3.13. (i) Für die Herleitung der Eulerschen Differentialgleichung, der
Weierstaßschen Bedingung und der Legendreschen Bedinung waren immer ” lokale“
Störkozepte benutzt worden (Richtungsvariation bzw. lokal im Definitionsbereich).
In diesem Sinn ist die Jacobische Bedingung von ” globaler Natur“ (man benötigt die
Extremale auf ganz [a, b])
(ii) Die Jacobische Bedingung kann beispielsweise auch zur Entscheidung im Pro-
blem der Geodäten auf der Sphähre (kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten) heran-
gezogen werden: Man kann zeigen, daß im jeweils längeren Teilstück des Großkreises
ein konjugierter Punkt der zugehörigen Jacobischen AWA liegt, weshalb dies dann
keine Lösung des Problems sein kann.
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