Vorlesungsskript

Proof. Unter den Voraussetzungen ist U eine konvexe und abgeschlossene Menge,
damit auch schwach kompakt. Damit ergeben sich die Aussagen als Folgerungen aus
Lemma 2.19.
Lemma 2.22. Sei t0 > 0 und x ∈ intK(t0; x0). Dann gibt es eine Umgebung V von
x und δ > 0 mit V ⊂ intK(t; x0) für alle t > 0 mit |t − t0| < δ.
Proof. Wegen x ∈ intK(t0; x0) enthält K(t0; x0) ein nichtentartetes Simplex
S(t0) := conv{x1(t0), . . . , xn+1(t0)}.
mit Zentrum x ∈ intS(t0) = ∅. Dabei sind x1(·), . . . , xn+1(·) die Trajektorien geeig-
neter Steuerungen aus U.
Skizze
Es sei nun V das offene Simplex mit Zentrum x und halben Seitenlängen von S(t0.
Dann ist für alle t > 0 mit |t − t0| bei hinreichend kleinem δ > 0 auch noch im
Simplex S(t) enthalten,
S(t) := conv{x1(t), . . . , xn+1(t)}.
Mit der Konvexität von K(t; x0) ergibt sich dann
Da V offen war, folgt die Behauptung.
V ⊂ S(t) ⊂ K(t; x0), ∀|t − t0| < δ.
Satz 2.23. (Geometrische Form des Maximumprinzips): Es sei T ∗ und (x ∗ , u ∗ ) :
[0, T ∗ ] → R × U eine optimale Lösung von Aufgabe (2.18). Dann gilt
x ∗ (t) ∈ ∂K(t; x0), für alle t ∈ [0, T ∗ ].
Proof. (i) Wir zeigen zunächst x ∗ (T ∗ ) ∈ ∂K(T ∗ ; x0):
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