Vorlesungsskript

x(t) zunächst nur die Existenz der ersten Ableitung vorausgesetzt haben. In ge-
wisser Weise besitzen aber die Lösungen von Variationsproblemen i.a. sogar zweite
Ableitungen, also eine höhere Regularität. Eine Festlegung der Lösung durch die
Randwerte xa, xb ist möglich, wenn x(t) auf ganz (a, b) glatt ist.
Satz 2.6. Ist x0 = x0(t) eine Lösung der Aufgabe (1.3), dann muß diese auf jedem
Stetigkeitsintervall von ˙x0 eine Lösung der Eulerschen Differentialgleichung (2.13)
sein.
Bemerkung 2.7. Um eine (explizite) Darstellung der allgemeinen Lösung von
(2.13) zu gewinnen, muß man zweimal integrieren. Unter Beachtung von (2.11) und
(2.12) kann für zwei spezielle Klassen von Integranden unmittelbar ein erstes Inte-
gral angegeben werden, jeweils auf einem Stetigkeitsintervall (t1, t2) von ˙x.
a) Hängt der Integrand f nicht explizit von t ab, d.h., f = f(x, ˙x) (autonomer
Integrand), so gilt
˙x · f ˙x t, x(t), ˙x(t) − f(t, x(t), ˙x(t)) = c, t ∈ (t1, t2).
b) Hängt der Integrand f nicht explizit von x ab (f = f(t, ˙x)), so gilt
f ˙x t, x(t), ˙x(t) = c, t ∈ (t1, t2).
Die Integrantionskonstante gilt auf ganz [a, b], s. auch den nächsten Satz.
Hat die Funktion x0 Ecken, dann braucht man pro Ecke zwei zusätzliche Bedingun-
gen.
Satz 2.8. Ist x0 eine Lösung der Aufgabe (1.3), dann sind die Funktionen f ˙x =
f ˙x(t, x(t), ˙x(t)) und [f − ˙xf ˙x] = f(t, x(t), ˙x(t)) − ˙x(t)f ˙x(t, x(t), ˙x(t)) stetig auf ganz
[a, b] Ist insbesondere t eine Ecke von x0, dann muß auch gelten
f ˙x(t, x(t), ˙x(t − 0)) = f ˙x(t, x(t), ˙x(t + 0)) (2.14)
(Weierstraß-Erdmannsche Eckenbedingung) sowie die Bedingung von Weierstraß
[f − ˙xf ˙x](t − 0) = [f − ˙xf ˙x](t + 0). (2.15)
Proof. Das ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 2.4 und der im Satz festgestell-
ten Stetigkeit der jeweiligen rechten Seiten.
Definition 2.9. Jede Lösung der Eulerschen Integrodifferentialgleichung (2.11) heißt
Extremale, besitzt diese Ecken, so auch gebrochene (geknickte) Extremale (vgl. Be-
merkung 2.5).
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