Vorlesungsskript

(d): Bei Rückführung von nicht-autonomen auf autonome Systeme kann man sich
wegen (c) auf Aufgaben mit fester Endzeit beschränken. Man definiert die neue
Zustandsvariable xn+1(t) = t, also
Für den erweiterten Zustandsvektor
˙xn+1 = 1, xn+1(0) = 0.
¯x = (x1, . . . , xn) T ∈ R n+1 ,
erzeugt man daraus (formal) ein Optimalsteuerproblem mit autonomer Systemdy-
namik durch
¯f0(¯x, u) = f0(xn+1, x, u),
¯f(¯x, u) =
f(xn+1, x, u)
1
,
¯x(0) =
x0
0
, ψ(¯x) ¯ = ψ(x).
3.2 Probleme mit linearer Steuerung: Bang-Bang-Prinzip
und singuläre Steuerungen
Ausgehend von unserer allgemeinen Aufgabenstellung (3.29) betrachten wir jetzt
eine Problemklasse, bei der die Steuerung u linear in der Dynamik und im Ziel-
funktional auftritt, d.h.
f(t, x, u) = a(t, x) + B(t, x)u,
f0(t, x, u) = a0(t, x) + b0(t, x) T u,
mit Funktionen a : [0, T ] × R n → R n , B(t, x) : [0, t] × R n → R m×n , bzw., a0 :
[0, T ]×R n → R, b0(t, x) : [0, T ]×R n → R m , diese seien alle (mindestens) stetig in der
ersten Variable (Zeit) und glatt bzgl. der Variablengruppe x. Für den Steuerbereich
behalten wir die bisherigen Voraussetzungen bei, U sei also (weiterhin) konvex und
kompakt. Diese Aufgabenklasse enthält die linearen zeitoptimalen Steuerprobleme
als Spezialfall.
Im Folgenden bezeichnet (x(·), u(·)) eine optimale Lösung von und es gelte λ0 = 1.
Die Hamilton-Funktion ist nun affin-linear in der Variablen u und hat die Form
H(t, x, λ, u) = f0(t, x, u) + λ T f(t, x, u) (3.40)
= a0(t, x) + λ T a(t, x) + (b0(t, x) + λ T B(t, x)) T u.
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