Vorlesungsskript

Definition 3.1. Wir bezeichnen (für alle y ∈ Z0) mit
δ 2 J (x0)[y] := F ′′ (0),
als zweite Variation des Funktionals J (·) an der Stelle x0 in Richtung y.
Offenbar muß in einem lokalen Minimum gelten F ′′ (0) ≥ 0 (notwendige Bedingung).
Damit ist klar:
Ist x0 eine Lösung von (1.3), dann gilt
δ 2 J (x0)[y] ≥ 0, ∀y ∈ Z0. (3.18)
Aus δJ = 0 hatten wir die Eulersche Differentialgleichung hergeleitet, analog kann
man aus δ 2 J ≥ 0 die Legendresche Bedingung herleiten - wie üblicherweise in den
meisten Darstellungen. Wir folgen hier aber Hestenes und ” machen uns das Leben
leichter“ (mit unseren Vorbereitungen(!)).
Satz 3.2. Ist x0 eine Lösung des Variationsproblems (1.3), dann gilt die Bedingung
von Legendre
f ˙x ˙x(t, x0(t), ˙x0(t)) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]. (3.19)
Proof. Die Lösung x0 erfüllt die Bedingung von Weierstraß (2.16) ⇒
E(t, x0(t), ˙x0(t), u) ≥ 0, ∀(t, x0, u), (t, x0, ˙x0) ∈ R.
Wir setzen G + (u), G − (u) wie folgt
G + (u) := E(t, x0(t), ˙x0(t + 0), u) ≥ 0.
G − (u) := E(t, x0(t), ˙x0(t − 0), u) ≥ 0.
Die Lösung x0 erfüllt auch die Bedingung (2.17) ⇒ G + ( ˙x − 0 ) = G − ( ˙x + 0 ) = 0 . Folglich
hat G ± (·) in ˙x ± 0 ein lokales Minimum. Somit gilt
G +′′ ( ˙x − 0 ) ≥ 0, G −′′ ( ˙x + 0 ) ≥ 0.
Wir erhalten G ±′′ (u) = f ˙x ˙x(t, x0(t), u) Einsetzen von u = ˙x ± 0 ergibt die Behauptung.
Bemerkung 3.3. Der Beweis zeigt, daß die Legendresche Bedinung für alle Extre-
malen gilt, für die die Weierstraßsche Bedingung erfüllt ist.
Nochmals zur kürzesten Linie: f = √ 1 + ˙x 2 ⇒ f ˙x = ˙x/ √ 1 + ˙x 2
⇒ f ˙x ˙x = √ 1 + ˙x 2 2 ˙x
− ˙x √
1 + ˙x 2 3 = √ 1 + ˙x 2−3 > 0 ( automatisch“).
”
17