Vorlesungsskript

3.3 Die Bedingung von Jacobi
Als Vorbetrachtung schreiben wir die in Definition 3.1 eingeführte zweite Variation
δ 2 J explizit auf: Mit den Bezeichnungen
ergibt sich
A(t) := f ˙x ˙x , B(t) := fxx
x0 x0 , C(t) := f
˙xx x0 ,
δ 2 b
J (x0)[y] = A(t) ˙y
a
2 (t) − 2C(t)y(t) ˙y(t) + B(t)y 2 (t)dt
=
b
A(t) ˙y
a
2
(t) + B(t) − d
dt C(t)
y 2 (t) dt
:=ϕ(t,y, ˙y)
(3.21)
=; Φ(y), ∀y ∈ Z0.
Dies ist ein quadratisches Variationsfunktional. Dessen Eigenschaften werden vom
Anteil in ˙y 2 dominiert (der Hauptteil), deshalb erhält man aus δ 2 J ≥ 0 die Bedin-
gung (zunächst intuitiv - die korrekte Herleitung auf diesem Weg ist mit gewissem
Aufwand verbunden - ähnlich dem Beweis der Weierstraßschen Bedingung, s.z.B. [4])
A(t) ≥ 0, d.h., die Legendresche Bedinung. Wir betrachten nun das oben eingeführte
Variationsfunktional Φ unter Beachtung von δ 2 J ≥ 0
b
Φ(y) = ϕ(t, y, ˙y)dt ≥ 0, ∀y ∈ Z0.
Damit ist offensichtlich y ≡ 0 ⇒ Φ(0) = 0 eine Lösung des
akzessorischen Variationsproblems
Wir stellen die Eulersche Gleichung zu (3.22) auf
⇒ die Eulersche Gleichung lautet
a
Φ(y) → min, bei y ∈ Z0. (3.22)
ϕy = 2 B(t) − ˙ C(t) y, ϕ ˙y = 2A(t) ˙y
d
dt (A(t) ˙y(t)) − B(t) − ˙ C(t) y(t) = 0, t ∈ (a, b).
Im weiteren sei x0 (generell) nichtsingulär und glatt (x0 ∈ C 2 ) und f ∈ C 3 , dann
gilt A(t) > 0, bzw. der Integrand des akzessorischen Variationsproblems ist (global)
positiv regulär (der Integrand des Originalproblems ist lokal pos. reg., s. Bemerkung
20