Vorlesungsskript

Zielfunktion
Die zu minimierende Zielfunktion ist gegeben durch
T
F (x, u) := g(x(T ) + f0(, x(t), u(t))dt, (1.5)
hierbei sei g : R n → R stetig differenzierbar und f0 : [0, T ] × R 2 × R m stetig und
stetig partiell differenzierbar nach x und u. Man unterscheidet:
g = 0, f0 = 0 : Lagrange-Problem
g = 0, f0 = 0 : Mayer-Problem
g = 0, f0 = 0 : Bolza-Problem
Diese Problem können ineinander überführt werden, besitzen aber auch eigenständi-
ge Bedeutung.
Zusammengefaßt erhalten wir ein Optimalsteuerproblem mit Steuerbeschränkungen:
T
Minimiere F (x, u) = g(x(T ) + f0(, x(t), u(t))dt
0
0
unter ˙x = f(t, x(t), u(t)), t ∈ (0, T ], (1.6)
x(0) ∈ M0, x(T ) ∈ M1,
u ∈ U.
Bei fester Endzeit heißt ein zulässiges Paar (Steuerprozeß) (x ∗ = x(u ∗ ), u ∗ ) zur
Endzeit T heißt optimale Lösung (optimaler Steuerprozeß) von (1.6), wenn gilt
F (x ∗ , u ∗ ) ≤ F (x, u), für alle zur Endzeit T zulässigen Paare.
Analog heißt bei freier Endzeit ein zulässiges Paar (x ∗ , u ∗ ) zur Endzeit T ∗ optimale
Lösung von (1.6), wenn F (x ∗ , u ∗ ) ≤ F (x, u) gilt für alle Paare, die zu einer belibigen
Endzeit T > 0 zulässig sind.
Ein Hauptanliegen der Theorie der optimalen Steuerung (bei GDGL) ist die Her-
leitung notwendiger Optimalitätsbedingungen, des sogenannten Pontrjaginschen
Maximumprinzips für ein optimales Paar (x ∗ , u ∗ ), die als Modifikation der not-
wendigen Bedingungen der VR angesehen werden können. Ein erster in diesem Zu-
sammenhang wichtiger Begriff (aber auch von eigenständiger Bedeutung) ist die
Erreichbarkeitsmenge.
Definition 1.4. Für festes x0 ∈ R n heißt
K(t; x0) := {x1 | ∃u ∈ U; x1 = x(t; u) : x löst (1.1)}, (1.7)
die Menge (der von x0 aus) erreichbaren Punkte (zum Zeitpunkt t). Falls x1 ∈
K(t; x0), dann heißt x0 steuerbar nach x1 in der Zeit t.
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