Vorlesungsskript

) Der Graph von x0 = x0(t) liegt in einem Gebiet V , daß von einem Mayer-Feld
überdeckt wird;
c) x0 = x0(t) ist Trajektorie dieses Feldes und es gilt
E(t, x, Γ(t, x), u) ≥ 0, ∀(t, x) ∈ V, ∀u : (t, x, u) ∈ R. (5.37)
Proof. Wir wählen ε so klein, daß (t, x) ∈ V , wenn |x−x0(t)| ≤ ε. Damit gilt für ein
x ∈ M mit |x − x0|C ≤ ε offensichtlich (t, x(t)) ∈ V, ∀t und (t, x(t), ˙x(t)) ∈ R, ∀t.
Folglich kann Beziehung (5.36) aus Satz 5.6 angewandt werden
b
J (x(·)) − J (x0(·)) = E(t, x(t), Γ(t, (x(t)), ˙x(t)) dt ≥ 0.
a
Die Schwierigkeit liegt im Nachweis der Existenz eines überdeckenden Mayer-Feldes(!).
Deshalb suchen wir nach hinreichenden Bedingungen für die Existenz solcher Felder.
Satz 5.8. Es sei x0 eine glatte Extremale von (1.3), welche die verschärfte Bedin-
gung von Legendre erfüllt
f ˙x ˙x(t, x0(t), ˙x0(t)) > 0, ∀t ∈ [a, b]. (5.38)
Ist zusätzlich die verschärfte Bedingung von Jacobi erfüllt (kein konjugierter Punkt
in (a, b]), dann kann x0(t) durch ein zentrales Feld überdeckt werden (die zugehörige
Gefällefunktion bildet ein Mayer-Feld).
Folgerung 5.9. (Hinreichende Bedingung von Weierstraß) Hinreichend für ein
starkes lokales Minimum in x0 sind die Bedingungen
a) x0 ist Extremale (Lsg. der Eulergleichung); und
b) Der Integrand f(t, x, ˙x) ist positiv regulär; und
c) x0 erfüllt die verschärfte Jacobische Bedingung.
Dises Bedigungen sind auch hinreichend für ein schwaches lokales Minimum, aber
für den Nachweis braucht man keine Feldtheorie, sondern man zeigt unmittelbar
δ 2 J (x0)[y, y] ≥ c|y| 2
C1, ∀y ∈ Z0.
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