Vorlesungsskript

Abbildung 1.2: Zeitoptimale Steuerung eines Wagens
Optimierungsvariable: F = F (t), ist eine Funktion, ggfalls mit Steuerbeschränkun-
gen:
|F (t)| ≤ 1, für fast alle t ∈ [0, T ].
Das ist ein optimales Steuerproblem bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Illustrationsbeispiel 4: Das Raketenauto Problemstellung: der Wagen soll möglichst
schnell zum Nullpunkt gesteuert werden, der Anfangszustand (Position und Ge-
schwindigkeit) ist vorgegeben (siehe Abbildung 1.2). Es bezeichne
x1(t) : Position des Wagens (Masse m = 1) zur Zeit t
x1(t) : Geschwindigkeit des Wagens zur Zeit t
Anfangszustand : x1(0) = p0, x2(0) = v0
u(t) : Beschleunigung des Wagens , Steuerfunktion
x1(t)
x(t) = : Zustand des Systems.
x2(t)
Die Dynamik des Systems ist gegeben durch
˙x1(t) = x2(t)
˙x2(t)
x(0)
=
=
u(t)
x0 = x(T ) =
p0 2 ∈ R v0
Anfangsbedingung
0
0
Endbedingung
u(t) ∈ [−1, 1] Steuerbeschränkung.
⇒ Mathematische Formulierung der Problemstellung:
T → min,
bei
˙x =
0
0
1
0
x +
0
1
u =: Ax + Bu, x(0) = 0, x(T ) =
0
0
,
u(·) ∈ L∞(0, T ), u(t) ∈ U := [−1, 1], für fast alle t ∈ [0, T ].
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