Vorlesungsskript

3.2 Regularität von Extremalen
Definition 3.4. Sei x(·) ∈ Z. x(·)heißt nichtsingulär, wenn gilt
f ˙x ˙x(t, x(t), ˙x(t)) = 0, ∀t ∈ [a, b]. (3.20)
Satz 3.5. (Hilbert) Es gelte f ∈ C m (R), (m ≥ 2). Dann ist jede nichtsinguläre
Lösung x0 des Variationsproblems (1.3) zwischen ihren Ecken m-mal stetig differen-
zierbar.
Proof. Es sei t0 ∈ (a, b) keine Ecke von x0. Für x0 gilt die Eulersche Gleichung
t
0 = f ˙x(t, x0(t), ˙x0(t)) − fx(s, x0(s), ˙x0(s))ds − c,
insbesondere für t ∈ (t0 − ε, t0 + ε), ε > 0, hinreichend klein. Wir setzen
a
t
F (t, u) = f ˙x(t, x0(t), u) − fx(s, x0(s), ˙x0(s))ds − c.
Dann gilt F (t0, u0) = 0 für u0 = ˙x0(t0) und (nach Voraussetzung)
Fu(to, u0) = f ˙x ˙x(t0, x0(t0), u0) = 0.
Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt: Im intervall (t0 − ε, t0 + ε) besitzt
die Gleichung F (t, u) = 0, (∆)
genau eine Lösung u = u(t) mit u(t0) = u0 = ˙x0(t0) und es gilt u ∈ C 1 . Wegen
Eindeutigkeit gilt u(·) = ˙x0(·) ∈ C 1 ⇒ x0 ∈ C 2 .
Mit einem (üblichen) Treppenleitertrick kann nun die Glattheit von x0 weiter erhöht
werden, falls der Integrand höhere Regularität besitzt:
Sei f ∈ C m , m ≥ 3. Wir differenzieren die Gleichung (∆)
d
dt F (t, u(t)) = 0, umgestellt: f ˙x ˙x(t, x0(t), u(t)) · ˙u(t) =
a
∈C 1 , =0
= fx(t, x0(t), ˙x0(t)
∈C1 ) − ft ˙x
∈C1 (t, x0(t)
∈C2 , u(t)
∈C1 )
∈C
1
− fx ˙x(t, x0(t), u(t)) · ˙x0(t)
∈C1 Alle Terme sind somit aus C 1 . Umstellung nach ˙u ergibt für m = 3
˙u ∈ C 1 ⇒ ¨x0 ∈ C 1 ⇒ x0 ∈ C 3 .
18