Vorlesungsskript

Extremale sind gewissermaßen die ” Optimumverdächtigen“ der VR, analog zu einer
Lösung von f ′ (x) = 0 (bzw. ∇f(x) = 0).
Beispiel 2.10. (die kürzeste Linie) Hier ist f(t, x, ˙x) = √ 1 + ˙x 2 . Damit reduziert
sich die Eulergleichung zu (vgl. Bem. 2.7, b))
f ˙x =
˙x
√ 1 + ˙x 2
= c . . . | ˙x| =
|c|
√ 1 − c 2
⇒ ˙x ≡ const.,
wegen der Stetigkeit von f ˙x auf [a, b]. Damit x(t) = αt + β, α, β aus RB.
Man beachte auch :
d
dt f ˙x =
¨x
√ 1 + ˙x 2 3 = κx(t) ≡ 0.
Man könnte auch Bem. 2.7, a) benutzen, aber ⇒ | ˙x| ≡ const. ( ” nur“).
Beispiel 2.11. (Brachistochrone) f = f(x, ˙x) = √ 1 + ˙x 2 / √ x. Mit Bem. 2.7, a)
c = ˙xf ˙x−f = 1
˙x
√
x
2
√
1 + ˙x 2 − √ 1 + ˙x 2
1
= −
⇒ −
x(1 + ˙x 2 ) 1
c =: ρ = x(1 + ˙x 2 ).
Trenng. d. Veränd. : . . . dt =
x
ρ 2 − x dx, Subst. : x = ρ2 cos 2 u ⇒
√
. . . =
cos u
sin u , dx = −2ρ2 cos u sin udu ⇒
t = −2ρ 2
cos udu = −2ρ 2 (u + sin u cos u) + c.
Eine explizite Auflösung nach x ist nicht geschlossen möglich - eine weitere Subst.:
τ = −2u ergibt die folgende Parameterdarstellung der Lösung
t = ρ2
2
ρ2
(τ + sin τ) + c, x = (1 + cos τ), (Konst. ⇔ RB)..
2
Die Lösungen sind (Teil einer) Zykloiden (Rollkurven), genauer siehe z.B. [2, 3].
2.3 Die Weierstraß’sche Bedingung
Die Eulersche Differentialgleichung wurde durch eine Einbettung in (je) eine einpa-
rametrische Kurvenschar bewiesen. Wir werden jetzt noch eine andere Technik zur
Konstruktion einer Kurvenschar anwenden, die mehr lokal orientiert ist.
Definition 2.12. Es gelte (t, x, ˙x) ∈ R sowie (t, x, u) ∈ R. Dann heißt
E(t, x, ˙x, u) := f(t, x, u) − f(t, x, ˙x) − (u − ˙x)f ˙x(t, x, ˙x),
die Weierstraßsche E-Funktion (E wie Exzeß).
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