Vorlesungsskript

Die Funktion F hat ein lokales Minimum in ε = 0, folglich
F ′ (0) = δJ (x0)[y] = 0, ∀y ∈ Z0
Wir berechnen
F ′ b
(ε) = fx(t, x0(t)+εy(t), ˙x0(t)+ε ˙y(t))·y(t)+f ˙x(t, x0(t)+εy(t), ˙x0(t)+ε ˙y(t))· ˙y(t) dt
a
⇒ ε = 0 : δJ (x0)[y] =
b
f 0 x(t)y(t) + f 0 ˙x(t) ˙y(t) dt = 0, mit
a
f 0 x(t) = fx(t, x0(t), ˙x0(t)) =: M(t),
f 0 ˙x(t) = f ˙x(t, x0(t), ˙x0(t)) =: N(t).
Die Funktionen f 0 x und f 0 ˙x sind offenbar stückweise stetig und y(·) ∈ Z0 ist beliebig,
damit liefert die Anwendung von Lemma 2.1 unmittelbar
t
f ˙x(t) = fx(s)ds + C, ∀t ∈ [a, b]. (2.7)
a
Das ist die sogenannte Eulersche Differentialgleichung in Integralform.
Erläuterungen zu Gleichung (2.7): Zunächst gilt die Eulersche Integrodifferential-
gleichung nur in den Stetigkeitspunkten von f 0 ˙x, d.h., in den Stetigkeitspunkten von
˙x. Mit Folgerung 2.2 gilt aber auch in Unstetigkeitspunkten von ˙x
t
f ˙x(t, x0(t), ˙x0(t − 0)) = f ˙x(t, x0(t), ˙x0(t + 0)) = f 0 x(s)ds + C,
und in diesem Sinn ist in solchen Punkten die Gültigkeit von (2.7) zu verstehen.
Nebenbetrachtung 1: Der vektorwertige Fall.
Sei m > 1 fixiert, R ⊂ R 2m+1 und f ∈ C 2 (R). Wir suchen jetzt eine Vektorfunktion
x 0 (t) = (x 0 1(t), . . . , x 0 m(t)) T mit
J (x 0 ) ≤ J (x), xi ∈ Z0, xi(a) = xia, xi(b) = xib, i = 1(1)m,
b
(2.8)
wobei gilt J (x(·)) = f(t, x1(t), . . . , xm(t), ˙x1(t), . . . , ˙xm(t))dt.
a
Die Randwerte xia, xib ∈ R sind vorgegeben ∀i. Für diese Aufgabe kann unmit-
telbar ein Analogon zu (2.7) angegeben werden. Dazu sei jetzt eine Lösung x 0 =
(x 0 1, . . . , x 0 m) T von (2.8) bekannt und i fixiert. Dann gilt auch J (x 0 (·)) ≤ J (x(·)) für
alle Vektoren der Form
x = (x 0 1, . . . , x 0 i−1, xi, x 0 i+1, . . . , x 0 m) T , xi ∈ Z, xi(a) = xia, xi(b) = xib.
9
a