Vorlesungsskript

Damit besitzt aber N(·) auch in (formalen) Unstetigkeitspunkten einen wohldefi-
nierten Grenzwert (N läßt sich stetig fortsetzen) und hat damit höchstens hebbare
Unstetigkeitsstellen ( ” faktisch’äuf ganz [a, b] stetig).
Für das Lemma exisiteren folgende bekannte Spezialfälle:
a) Das Fundamentallemma ” in älterer Darstellung“:
b
M(t)z(t)dt = 0, ∀z ∈ Z0 ⇒ M(t) ≡ 0.
b) Das Lemma von Du-Bois-Raymond:
a
b
N(t) ˙z(t)dt = 0, ∀z ∈ Z0 ⇒ N(t) ≡ C.
a
2.2 Erste Variation und Eulersche Differentialgleichung
Erinnerung an notwendige Optimalitätsbedingung für eindimensionale(endlich-) glat-
te Optimierungsaufgaben
x0 ist lokales Min ⇒ f ′ (x0) = 0 (∇f(x0) = 0).
Es sei nun x0 = x0(t) eine Optimallösung des Variationsproblems (1.3) Weiter sei
y(·) ∈ Z0 gegeben. Offensichtlich existiert dann (R ist offen) ein δ > 0 derart, daß
Wir setzen
x0(·) + εy(·) ∈ M, ∀|ε| ≤ δ.
b
F (ε) := J(x0 + εy) = f(t, x0(t) + εy(t), ˙x0(t) + ε ˙y(t))dt. (2.6)
a
Idee von Lagrange: Da x0 eine Optimallösung des Variationsproblems ist, muß F
in ε = 0 ein lokales Minimum besitzen. Damit können wir (bis zu einem gewissen
Grad) die Situation auf eine eindimensionale Optimierung zurückführen. Es gilt
offensichtlich F ∈ C 2 [−δ, δ].
Definition 2.3. Wir bezeichnen (für alle y ∈ Z0)
δJ (x0)[y] := F ′ (0),
als erste Variation des Funktionals J (·) an der Stelle x0 in Richtung y.
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