Vorlesungsskript

Für U = R m kann der erreichbare Teilraum K(t) mit Hilfe der Matrizen A und B
bestimmt werden.
Definition 2.6. Die n×nm-Matrix C := (B, AB, A 2 B, . . . , A n−1 B) heißt Kalman-
Matrix oder Steuerbarkeitsmatrix des dynamischen Systems ˙x = Ax + Bu.
Satz 2.7. Es sei U = R m . Für alle t > 0 gilt
n−1
K(t) = Im(C) = { A k Bck : ck ∈ R m }.
k=0
Proof. Wir zeigen zunächst K(t) ⊂ Im(C). Für x ∈ K(t) gilt mit einer zugehörigen
Steuerung u ∈ L m ∞(0, t) nach Lemma 2.2
x =
=
t
e A(t−s) Bu(s)ds =
0
n−1
A k Bck ∈ Im(C).
k=0
n−1
A
k=0
k t
B ϕk(t − s)u(s)ds
0
Für die Rückrichtung nehmen wir an, daß gilt K(t) ⊂ Im(C), und diese Inklusion
sei strikt. K(t) ist aber ein linearer (Unter-)Raum nach Lemma 2.5 Daher gibt es
ein 0 = v ∈ Im(C) mit v ⊥ K(t). Somit gilt
v T
t
e A(t−s) Bu(s)ds = 0,
0
für alle Steuerungen u ∈ L m ∞(0, t), insbesondere auch für die C ∞ -Steuerung ū
Folglich gilt (wegen der Stetigkeit von ū)
ū(s) := v T e A(t−s) B) T , s ∈ [0, t].
t
ū(s) T ū(s) = 0 =⇒ ū ≡ 0.
0
Dann erhalten wir durch sukzessive Differentiation an der Stelle s = t
:=ck
ū (k) (t) = v T (−1) k A k B T = 0, k = 0(1)(n − 1).
Folglich gilt v ⊥ Im(C), im Widerspruch zu 0 = v ∈ Im(C).
Folgerung 2.8. Falls rg C = n und U = R m , so gilt K(t) = R n für alle t > 0.
Für Steuermengen U = R n bleibt die folgende Abschwächung gültig.
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