Vorlesungsskript

Satz 2.9. Es sei U ⊂ R m konvex und 0 ∈ int U. Dann gilt für alle t > 0
0 ∈ int K(t) ⇐⇒ rg C = n
Proof. ⇒: Wie im Beweis von Satz 2.7 erhält man K(t) ⊂ Im(C). Wäre nun rg C <
n, so würde daraus folgen int K(t) = ∅ - im Widerspruch zu 0 ∈ int K(t).
⇐: Es sei nun rg C = n und wir nehmen an 0 /∈ int K(t). Es gilt aber 0 ∈ K(t) (da
u ≡ 0 zulässig ist), also folgt 0 ∈ ∂K(t). Weiter ist K(t) konvex nach Lemma 2.5.
Nach dem Trennungssatz für konvexe Mengen gibt es folglich ein 0 = v ∈ R n , so
daß
v T x ≤ 0, für alle x ∈ K(t).
Folglich gilt für alle zulässigen Steuerungen u ∈ U
v T
t
e A(t−s) Bu(s)ds ≤ 0. (∗)
0
Insbesondere sind (wegen 0 ∈ int U) für hinreichend kleines α > 0 die beiden fol-
genden Steuerungen ū± zulässig,
ū T ±(s) := ±αv T e A(t−s) B, s ∈ [0, t].
Die Ungleichung (∗) liefert dann ū± ≡ 0, d.h.,
v T e A(t−s) B = 0, ∀s ∈ [0, t].
Wie im vorhergehenden Beweis impliziert dies wieder v ⊥ Im(C), im Widerspruch
zur Voraussetzung rg C = n (Im(C) = R n ).
Bemerkung 2.10. (i) Satz 2.9 bleibt auch ohne die Konvexitätsvoraussetzung an U
gültig: Für die Hinrichtung (⇒) ist die Konvexität offensichtlich nicht erforderlich.
Für die Rückrichtung (⇐) ist es ausreichend, eine (konvexe) Kugel 0 ∈ U1 ⊂ U
auszuwählen und die zugehörige Erreichbarkeitsmenge K1(t) ⊂ K(t) (alle mit Steue-
rungen aus der Steurmenge U1 zu t ereichbaren Zustände) zu betrachten. Man erhält
(mit Widerspruchsbeweis) 0 ∈ int K1(t) ⊂ int K(t).
(ii) Bei ” echten“ Steuerbeschränkungen hat man im allgemeinen natürlich
K(t1) ⊂= K(t2), falls t1 < t2.
Beispiel 2.11. a) Das Raketenauto (Illustrationsbeispiel 4): Die Dynamik ist
˙x = Ax + Bu, A =
0
0
1
0
, B =
0
1
,
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