Vorlesungsskript

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in die klassische Variationsrechnung 1
1 Illustrierende Beispiele und Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Die Grundaufgabe: Variationsprobleme mit festen Endpunkten 2
1.3 Verallgemeinerungen der Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . 4
1.4 Schwache und starke lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Optimalitätsbedingungen erster Ordnung - Eulersche Differentialglei-
chung und die Bedingung von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung . . . . . . . . 6
2.2 Erste Variation und Eulersche Differentialgleichung . . . . . . 8
2.3 Die Weierstraß’sche Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Bedingungen zweiter Ordnung - Legendresche und Jacobische Bedin-
gung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Zweite Variation und Legendresche Bedinung . . . . . . . . . 16
3.2 Regularität von Extremalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Die Bedingung von Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Erweiterungen des einfachsten Variationsproblems . . . . . . . . . . . 24
4.1 Probleme mit variablen Endwerten . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Isoperimetrische Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Aufgaben mit holonomen und nichtholonomen NB . . . . . . . 32
5 Hinreichende Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 Extremalenfelder und Mayersche Felder . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Hinreichende Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 38
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