Vorlesungsskript

Es seien h(t) : Höhe der Rakete zur Zeit t
v(t) : Geschwindigkeit der Rakete zur Zeit t
u(t) : Kraftstoffmomentanverbrauch, Steuerfunktion
D(h, v) : Luftwiderstand
g(h) : Gravitation
c : spezifischer Impuls pro Einheit Treibstoff.
Die Endzeit T ist fest oder frei. Luftwiderstands- und Gravitationsgesetz (r0 - Er-
dradius, g0 Gravitationskonstante auf Erdoberfläche)
D(h, v) = αv 2 exp(−βh)
g(h) = g0
r2 0
r2 0 + h2 Dann ist die Dynamik des Systems gegeben durch
Die Randbedingungen lauten
˙h(t) = v
˙v(t) =
cu(t) − D(h, v)
− g(h)
m(t)
(∆)
˙m(t) = −u(t).
h(0) = 0
v(0) = 0 (+)
m(0) = m0, m(T ) = mT .
Zusätzlich treten auch hier Steuerbeschränkungen auf in der Form
u(t) ∈ [0, umax], (für fast alle t ∈ [0, T ] (⋄).
Problemstellung: Gesucht ist ein stückweise stetiger Schub (meßbar, beschränkt)
u ∗ : [0, T ] → R, welcher die Höhe h(T ) maximiert unter den Nebenbedingungen
(∆), (+), (⋄). Die (numerische) Lösung ist in Abbildung 1.4 dargestellt. Diese ergibt
eine ca. 40%-ige Verbesserung gegenüber der naheliegenden Steuerung
⎧
⎨umax,
0 ≤ t ≤ t1,
ū(t) =
⎩0,
t1 < t ≤ T,
mit umaxt1 = m0 − mT (dies wäre die optimale Lösung ohne Luftwiderstand).
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